Задача. Зенитный снаряд, выпущенный вертикально вверх, достиг

Задача. Зенитный снаряд, выпущенный вертикально вверх, достиг максимальной высоты и взорвался. При этом образовалась три осколка одинаковой массы. Два осколка разлетелись симметрично под углом $\displaystyle \alpha =60$ ^о к направлению полёта снаряда со скоростями, модули которых $\displaystyle {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{2}}=200$ м/с. Определите модуль и направление скорости третьего осколка.

Дано:

$\displaystyle {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{2}}=200$ м/с
$\displaystyle \alpha =60$ ^о

Найти:
$\displaystyle {{\upsilon }_{3}}$ — ?

Решение

Думаем: у нас в задаче присутствуют фраза «одинаковая масса» и несколько скоростей, что говорит о возможном решении через закон сохранения импульса. Для таких задач подходит план решения.

Для реализации плана нам понадобится закон сохранения импульса в векторном виде:

$\displaystyle \sum{{{{\vec{p}}}_{i}}}=\sum{\vec{p}_{i}^{/}}$ (1)

И определение импульса как такового:

$\displaystyle \vec{p}=m\vec{\upsilon }$ (2)

Решаем: исходя из плана зарисуем импульсы системы до и после взрыва (рис. 1). При этом будем описывать импульс напрямую через (2).

Рис. 1. Распределение импульсов

Проанализируем. Т.к. разрыв произошёл в наивысшей точке подъёма, то скорость составного тела перед разрывом равнялась нулю. Определим массу составного тела как $\displaystyle 3m$ , где $\displaystyle m$ — масса каждого из осколков. Т.к. осколки разлетелись под одинаковым углом, то проекции импульсов двух тел вдоль оси ОХ исходя из (2):

$\displaystyle {{p}_{1x}}=-m{{\upsilon }_{1}}\sin \alpha$ (3)

$\displaystyle {{p}_{2x}}=m{{\upsilon }_{2}}\sin \alpha$ (4)

Т.к. скорости тел равны ( $\displaystyle {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{2}}$ ), то и модули импульсов вдоль оси OX равны ( $\displaystyle \left| {{p}_{1x}} \right|=\left| {{p}_{2x}} \right|$ ). Таким образом, импульсы всей системы вдоль оси ОХ скомпенсированы, тогда импульс третьего тела направлен против оси OY.

Найдём проекции импульсов вдоль оси OY:

для тела 1: $\displaystyle {{p}_{1y}}=m{{\upsilon }_{1}}\cos \alpha$
для тела 2: $\displaystyle {{p}_{2y}}=m{{\upsilon }_{2}}\cos \alpha$
для тела 3: $\displaystyle {{p}_{3y}}=-m{{\upsilon }_{3}}$

Адаптируем (1) для оси OY:

$\displaystyle 0=m{{\upsilon }_{1}}\cos \alpha +m{{\upsilon }_{2}}\cos \alpha -m{{\upsilon }_{3}}\Rightarrow$ $\displaystyle 0={{\upsilon }_{1}}\cos \alpha +{{\upsilon }_{2}}\cos \alpha -{{\upsilon }_{3}}\Rightarrow$ $\displaystyle {{\upsilon }_{3}}=({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})\cos \alpha$ (5)

Считаем:

$\displaystyle {{\upsilon }_{3}}=(200+200)\cos {{60}^{{}^\circ }}=400*\frac{1}{2}=200$ м/с.

Ответ: $\displaystyle {{\upsilon }_{3}}=200$ м/с.

Ещё задачи на тему «Импульс».

Поделиться ссылкой: