План решения задач на закон сохранения импульса. Метод, Рисунок

Исходя из закона сохранения импульса мы получаем одно или два уравнения (в зависимости от количества осей, необходимых в задаче). Я предлагаю визуализацию таких задач. В любой из них можно найти момент взаимодействия — точку в которой происходит резкое изменение скорости. Чаше всего это удары тел друг о друга и изменение направления движения.

Задача. Пусть в движутся два тела массами $\displaystyle {{m}_{1}}$ и $\displaystyle {{m}_{2}}$ , движутся со скоростями $\displaystyle {{\upsilon }_{1}}$ и $\displaystyle {{\upsilon }_{2}}$ , сталкиваются и разлетаются. Даны направления скоростей до и после соударения (т.е. углы относительно горизонта $\displaystyle {{\alpha }_{1}}$ , $\displaystyle {{\alpha }_{2}}$ , $\displaystyle {{\beta }_{1}}$ , $\displaystyle {{\beta }_{2}}$ ). Найти скорости после соударения $\displaystyle {{u}_{1}}$ и $\displaystyle {{u}_{2}}$ .

Рис. 1. Закон сохранения импульса — 1

«Линия взаимодействия» разделяет нашу задачу на до изменения скорости и после (в нашем случае она символизирует место удара). В левой части рисуем вектора скоростей до соударения, которые заданы в задаче. В правой части рисуем примерный вид и направление скоростей после разлёта (точно мы их не знаем, но предугадать можем).

Т.к. направление импульса в любом случае совпадает с направлением скорости, тогда (рис. 2).

Рис. 2. Закон сохранения импульса — 2

Где $\displaystyle {{p}_{1}}$ , $\displaystyle {{p}_{2}}$ — импульсы тел 1 и 2 до соударения, $\displaystyle p_{1}^{/}$ , $\displaystyle p_{2}^{/}$ — импульсы тел 1 и 2 после соударения.

Закон сохранения импульса говорит о том, что векторная сумма импульсов тел до соударения равен векторной сумме импульсов тел после соударения. В нашем случае:

$\displaystyle {{\vec{p}}_{1}}+{{\vec{p}}_{2}}=\vec{p}_{1}^{/}+\vec{p}_{2}^{/}$ (1)

Работа с (1) в векторном виде неудобна, по-этому спроецируем на ось OX (рис. 3).

Рис.3. Закон сохранения импульса (проекция OX)

Воспользуемся тригонометрическими зависимостями для математизации проекций (проекции импульсов выделены красным):

$\displaystyle {{p}_{1}}\cos {{\alpha }_{1}}+{{p}_{2}}\cos {{\alpha }_{2}}=-p_{1}^{/}\cos {{\beta }_{1}}+p_{2}^{/}\cos {{\beta }_{2}}$ (2)

Или по определению импульса ( $\displaystyle p=m\upsilon$ ):

$\displaystyle {{m}_{1}}{{\upsilon }_{1}}\cos {{\alpha }_{1}}+{{m}_{2}}{{\upsilon }_{2}}\cos {{\alpha }_{2}}=-{{m}_{1}}{{u}_{1}}\cos {{\beta }_{1}}+{{m}_{2}}{{u}_{2}}\cos {{\beta }_{2}}$ (3)

Спроецируем (1) на ось OY (рис. 4)

Рис. 4. Закон сохранения импульса (проекция на OY)

$\displaystyle -{{p}_{1}}\sin {{\alpha }_{1}}+{{p}_{2}}\sin {{\alpha }_{2}}=p_{1}^{/}\sin {{\beta }_{1}}-p_{2}^{/}\sin {{\beta }_{2}}$ (4)

Или по определению импульса ( $\displaystyle p=m\upsilon$ ):

$\displaystyle -{{m}_{1}}{{\upsilon }_{1}}\sin {{\alpha }_{1}}+{{m}_{2}}{{\upsilon }_{2}}\sin {{\alpha }_{2}}={{m}_{1}}{{u}_{1}}\sin {{\beta }_{1}}-{{m}_{2}}{{u}_{2}}\sin {{\beta }_{2}}$ (5)

В итоге, у нас есть два уравнения (3) и (5) и два неизвестных $\displaystyle {{u}_{1}}$ и $\displaystyle {{u}_{2}}$ . В целом эта система решаема.

Вывод: предложенный метод визуализации импульсов позволяет записать уравнения и не перепутать знаки. В целом по такому методу мы можем получить уравнения, необходимые для решения.

Поделиться ссылкой: