План работы с законом сохранения импульса

Исходя из закона сохранения импульса мы получаем одно или два уравнения (в зависимости от количества осей, необходимых в задаче). Я предлагаю визуализацию таких задач. В любой из них можно найти момент взаимодействия — точку в которой происходит резкое изменение скорости. Чаше всего это удары тел друг о друга и изменение направления движения.

Задача. Пусть в движутся два тела массами \displaystyle {{m}_{1}} и \displaystyle {{m}_{2}}, движутся со скоростями \displaystyle {{\upsilon }_{1}} и \displaystyle {{\upsilon }_{2}}, сталкиваются и разлетаются. Даны направления скоростей до и после соударения (т.е. углы относительно горизонта \displaystyle {{\alpha }_{1}}, \displaystyle {{\alpha }_{2}}, \displaystyle {{\beta }_{1}}, \displaystyle {{\beta }_{2}}). Найти скорости после соударения \displaystyle {{u}_{1}} и \displaystyle {{u}_{2}}.

Закон сохранения импульса - 1

Рис. 1. Закон сохранения импульса — 1

«Линия взаимодействия» разделяет нашу задачу на до изменения скорости и после (в нашем случае она символизирует место удара). В левой части рисуем вектора скоростей до соударения, которые заданы в задаче. В правой части рисуем примерный вид и направление скоростей после разлёта (точно мы их не знаем, но предугадать можем).

Т.к. направление импульса в любом случае совпадает с направлением скорости, тогда (рис. 2).

Закон сохранения импульса - 2

Рис. 2. Закон сохранения импульса — 2

Где \displaystyle {{p}_{1}}\displaystyle {{p}_{2}} — импульсы тел 1 и 2 до соударения, \displaystyle p_{1}^{/}, \displaystyle p_{2}^{/} — импульсы тел 1 и 2 после соударения.

Закон сохранения импульса говорит о том, что векторная сумма импульсов тел до соударения равен векторной сумме импульсов тел после соударения. В нашем случае:

\displaystyle {{\vec{p}}_{1}}+{{\vec{p}}_{2}}=\vec{p}_{1}^{/}+\vec{p}_{2}^{/} (1)

Работа с (1) в векторном виде неудобна, по-этому спроецируем на ось OX (рис. 3).

Закон сохранения импульса - 3

Рис.3. Закон сохранения импульса (проекция OX)

Воспользуемся тригонометрическими зависимостями для математизации проекций (проекции импульсов выделены красным):

\displaystyle {{p}_{1}}\cos {{\alpha }_{1}}+{{p}_{2}}\cos {{\alpha }_{2}}=-p_{1}^{/}\cos {{\beta }_{1}}+p_{2}^{/}\cos {{\beta }_{2}} (2)

Или по определению импульса (\displaystyle p=m\upsilon ):

\displaystyle {{m}_{1}}{{\upsilon }_{1}}\cos {{\alpha }_{1}}+{{m}_{2}}{{\upsilon }_{2}}\cos {{\alpha }_{2}}=-{{m}_{1}}{{u}_{1}}\cos {{\beta }_{1}}+{{m}_{2}}{{u}_{2}}\cos {{\beta }_{2}}p=m\upsilon (3)

Спроецируем (1) на ось OY (рис. 4)

Закон сохранения импульса - 4

Рис. 4. Закон сохранения импульса (проекция на OY)

Воспользуемся тригонометрическими зависимостями для математизации проекций (проекции импульсов выделены красным):

\displaystyle -{{p}_{1}}\sin {{\alpha }_{1}}+{{p}_{2}}\sin {{\alpha }_{2}}=p_{1}^{/}\sin {{\beta }_{1}}-p_{2}^{/}\sin {{\beta }_{2}} (4)

Или по определению импульса (\displaystyle p=m\upsilon ):

\displaystyle -{{m}_{1}}{{\upsilon }_{1}}\sin {{\alpha }_{1}}+{{m}_{2}}{{\upsilon }_{2}}\sin {{\alpha }_{2}}={{m}_{1}}{{u}_{1}}\sin {{\beta }_{1}}-{{m}_{2}}{{u}_{2}}\sin {{\beta }_{2}} (5)

В итоге, у нас есть два уравнения (3) и (5)  и два неизвестных \displaystyle {{u}_{1}} и \displaystyle {{u}_{2}}. В целом эта система решаема.

Вывод: предложенный метод визуализации импульсов позволяет записать уравнения и не перепутать знаки. В целом по такому методу мы можем получить уравнения, необходимые для решения.