Задача. Молекула массой кг летит со скоростью, направленной под

Задача. Молекула массой $\displaystyle m=4,0\cdot {{10}^{-26}}$ кг летит со скоростью, направленной под углом $\displaystyle \alpha =30$ ^о к поверхности стенки сосуда. Модуль скорости $\displaystyle \upsilon =500$ м/с. После удара о стенку молекула под таким же углом и с такой же по модулю скоростью отскакивает от неё. Определите изменения импульса молекулы.

Дано:

$\displaystyle m=4,0\cdot {{10}^{-26}}$ кг
$\displaystyle \upsilon =500$ м/с
$\displaystyle \alpha =30$ ^о

Найти:
$\displaystyle \Delta p$ — ?

Решение

Думаем: вопрос об изменении любой величины — это всегда разность между конечным параметром и начальным параметром. В случае векторной величины — это разность векторов, тогда для изменения импульса:

$\displaystyle \Delta \vec{p}={{\vec{p}}_{2}}-{{\vec{p}}_{1}}$ (1)

где $\displaystyle {{p}_{2}}$ и $\displaystyle {{p}_{1}}$ — начальный и конечный импульс системы. Импульсы в конкретных состояниях можно найти как:

$\displaystyle \vec{p}=m\vec{\upsilon }$ (2)

Решаем: для того, чтобы найти модуль вектора нам необходимо сначала увидеть этот вектор. Исходя из нашего дано (стенка, угол удара, угол отлёта) можем создать рисунок (рис. 1).

Рис. 1. Удар молекулы о стенку

Начальный и конечный импульсы представлены на рисунке 1. Исходя из соотношения (1) можем заключить, что нам необходимо найти разность векторов. Саму разность векторов легче искать через сумму:

$\displaystyle \Delta \vec{p}={{\vec{p}}_{2}}-{{\vec{p}}_{1}}={{\vec{p}}_{2}}+(-{{\vec{p}}_{1}})$ (3)

Тогда наша задача найти на рисунке вектор $\displaystyle -{{\vec{p}}_{1}}$ и воспользоваться правилом сложения векторов. Отрицательный вектор — это вектор обратный выбранному вектору. Проилюстрируем это (рис. 2).

Рис. 2. Поиск изменения импульса

Вектор $\displaystyle -{{\vec{p}}_{1}}$ — вектор, нарисованный на рис. 2.1. Для сложения векторов воспользуемся правилом параллелограмма (рис. 2.2). Тогда вектор суммы $\displaystyle \Delta \vec{p}={{\vec{p}}_{2}}+(-{{\vec{p}}_{1}})$ найден на рис. 2.3. Мы увидели этот вектор, следующая задача — найти его модуль. Можно заметить, что необходимый нам вектор — сторона треугольника, тогда для нахождения модуля вектора в данном случае можно использовать теорему косинусов. Тогда нам необходим один из углов треугольника. Т.к. скорость и масса тела до и после удара не изменились, то на рис. 2.3. представлен ромб, тогда одна пара углов ромба из развёрнутого угла ( $\displaystyle 180-2\alpha$ ), а вторая пара — $\displaystyle 2\alpha$ .

Тогда теорема косинусов для любого из треугольников:

$\displaystyle {{\left| \Delta \vec{p} \right|}^{2}}={{\left| {{{\vec{p}}}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| -{{{\vec{p}}}_{1}} \right|}^{2}}-2\left| -{{{\vec{p}}}_{1}} \right|\left| {{{\vec{p}}}_{2}} \right|\cos 2\alpha \Rightarrow$ $\displaystyle \Delta {{p}^{2}}=p_{2}^{2}+p_{1}^{2}-2{{p}_{1}}{{p}_{2}}\cos 2\alpha \Rightarrow$ $\displaystyle \Delta p=\sqrt{p_{2}^{2}+p_{1}^{2}-2{{p}_{1}}{{p}_{2}}\cos 2\alpha }$ (4)

Для (4) нам необходимо знать значения импульсов:

$\displaystyle {{p}_{1}}=m\upsilon$ (5)

$\displaystyle {{p}_{2}}=m\upsilon$ (6)

Т.к. скорость молекулы не изменилась, то и импульс остался неизменным. Тогда подставим (5) и (6) в (4):

$\displaystyle \Delta p=\sqrt{{{\left( m\upsilon \right)}^{2}}+{{\left( m\upsilon \right)}^{2}}-2*m\upsilon *m\upsilon *\cos 2\alpha }=$ $\displaystyle \sqrt{2{{\left( m\upsilon \right)}^{2}}-2{{\left( m\upsilon \right)}^{2}}\cos 2\alpha }=$ $\displaystyle m\upsilon \sqrt{2(1-\cos 2\alpha )}$ (7)

Считаем:

$\displaystyle \Delta p=4,0*{{10}^{-26}}*500*\sqrt{2(1-\cos (2*30))}=2,0*{{10}^{-23}}$ кг*м/с

Ответ: $\displaystyle \Delta p=2,0*{{10}^{-23}}$ кг*м/с.

Комментарии: по рис. 2.3, зная, что перед нами ромб, можем сделать небольшое упрощение в решении. В ромбе $\displaystyle 2\alpha ={{60}^{\circ }}$ , тогда равнобедренный треугольник со сторонами $\displaystyle m\upsilon$ и углом в $\displaystyle 2\alpha ={{60}^{\circ }}$ является равносторонним. Тогда $\displaystyle \Delta p=m\upsilon$ , таким образом задача решается проще, но данное решение возможно только при определённых углах, т.е. решение задачи уникально.

Ещё задачи на тему «Импульс».

Поделиться ссылкой: