Нахождение полного сопротивления участка цепи

Отдельным видом задач или частью общей большой задачи является задачи на поиск полного (общего) сопротивления цепи постоянного тока.

Пусть дана цепь с заданными сопротивлениями \displaystyle {{R}_{1}}-{{R}_{7}} (рис. 1).

Полное сопротивление цепи - 1

Рис. 1. Полное сопротивление цепи — 1

Проанализируем её: визуально выделяем участки цепи, на которых есть только последовательные или только параллельные соединения. Таких участка два, оба с параллельным подключением проводников, обозначим их \displaystyle {{R}_{01}} и \displaystyle {{R}_{02}} (рис. 2).

Полное сопротивление цепи - 2

Рис. 2. Полное сопротивление цепи — 2

Найдём значения \displaystyle {{R}_{01}} и \displaystyle {{R}_{02}}, исходя из параллельности проводников: \displaystyle \frac{1}{{{R}_{0}}}=\sum\limits_{i}{\frac{1}{{{R}_{i}}}}.

\displaystyle \frac{1}{{{R}_{01}}}=\frac{1}{{{R}_{1}}}+\frac{1}{{{R}_{2}}}\Rightarrow {{R}_{01}}=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}} (1)

\displaystyle \frac{1}{{{R}_{02}}}=\frac{1}{{{R}_{4}}}+\frac{1}{{{R}_{5}}}+\frac{1}{{{R}_{6}}}\Rightarrow {{R}_{02}}=\frac{{{R}_{4}}{{R}_{5}}{{R}_{6}}}{{{R}_{4}}{{R}_{5}}+{{R}_{4}}{{R}_{6}}+{{R}_{5}}{{R}_{6}}} (2)

Введём обозначения и перерисуем получившуюся схему (рис. 3).

Полное сопротивление цепи - 3

Рис. 3. Полное сопротивление цепи — 3

Проанализируем получившуюся цепь: в ней ряд сопротивлений подключены последовательно (рис. 4).

Полное сопротивление цепи - 4

Рис. 4. Полное сопротивление цепи — 4

Найдём значение \displaystyle {{R}_{03}}, исходя из последовательности проводников: \displaystyle {{R}_{0}}=\sum\limits_{i}{{{R}_{i}}}.

\displaystyle {{R}_{03}}={{R}_{01}}+{{R}_{3}}+{{R}_{02}} (3)

Введём обозначения и перерисуем получившуюся схему (рис. 5).

Полное сопротивление цепи - 5

Рис. 5. Полное сопротивление цепи — 5

Тогда мы получили обычную параллельную цепь, общее значение сопротивление которой:

\displaystyle {{R}_{0}}=\frac{{{R}_{7}}{{R}_{03}}}{{{R}_{7}}+{{R}_{03}}} (4)

Подставив (1) и (2) в (3), а получившееся значение в (4), получим искомый ответ. Делать это долго, поэтому мы делать это не будем. Получим ответ при условии:

\displaystyle {{R}_{1}}={{R}_{2}}={{R}_{3}}={{R}_{4}}={{R}_{5}}={{R}_{6}}={{R}_{7}}=R (5)

Тогда из (1) и (2):

\displaystyle {{R}_{01}}=\frac{RR}{R+R}=\frac{R}{2} (6)

\displaystyle {{R}_{02}}=\frac{RRR}{RR+RR+RR}=\frac{{{R}^{3}}}{3{{R}^{2}}}=\frac{R}{3} (7)

Подставим получившиеся значения в (3):

\displaystyle {{R}_{03}}=\frac{R}{2}+R+\frac{R}{3}=\frac{3R+6R+2R}{6}=\frac{11R}{6} (8)

И последнее, подставим (8) в (4):

\displaystyle {{R}_{0}}=\frac{{}^{11R}\!\!\diagup\!\!{}_{6}\;R}{{}^{11R}\!\!\diagup\!\!{}_{6}\;+R}=\frac{11R}{17} (9)

Вывод: Пользуясь представленной логикой, можно найти полное сопротивление цепи любой сложности.

Добавить комментарий