Формулы для последовательного, параллельного соединения

Элементы цепи могут быть подключены двумя способами:

последовательно
параллельно

Проиллюстрируем данные подключения на примере двух резисторов (рис. 1). Помним о том, что соединительные провода не имеют сопротивления (являются идеальными).

последовательное соединение проводников

Рис. 1. Последовательное соединение проводников

Просмотрим движение электронов по ABC. Т.к. электроны «потеряться» или «задержаться» нигде внутри проводника не могут, при последовательном подключении элементов сила тока, проходящая через каждый из проводников, одинакова.

С точки зрения логики, отдельно взятый электрон нужно «протащить» между точками АB, а потом между точками BC. «Протащить» — это, фактически значит, совершить работу по переносу заряда (за нас это делает электрическое поле):

$\displaystyle A=q({{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}})$ (1)

где
- $\displaystyle A$ — работа по переносу заряда,
- $\displaystyle q$ — переносимый заряд,
- $\displaystyle {{\varphi }_{2}}$ , $\displaystyle {{\varphi }_{1}}$ — потенциалы конечной и начальной точки переноса заряда.

Нами ранее уже было введено понятие напряжения:

$\displaystyle {{U}_{12}}={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}$ (2)

где
- $\displaystyle {{U}_{12}}$ — напряжение (разность потенциалов) между точками 2 и 1,
- $\displaystyle {{\varphi }_{2}}$ , $\displaystyle {{\varphi }_{1}}$ — потенциалы соответствующих точек.

Тогда, используя (2) и рисунок 1, проанализируем напряжения. Пусть:

$\displaystyle {{U}_{CA}}={{\varphi }_{C}}-{{\varphi }_{A}}$ — напряжение (разность потенциалов) между точками С и А,
$\displaystyle {{U}_{BA}}={{\varphi }_{B}}-{{\varphi }_{A}}$ — напряжение (разность потенциалов) между точками В и А,
$\displaystyle {{U}_{CB}}={{\varphi }_{C}}-{{\varphi }_{B}}$ — напряжение (разность потенциалов) между точками С и В.

Тогда:

$\displaystyle {{U}_{CA}}={{\varphi }_{C}}-{{\varphi }_{A}}$ (3)

$\displaystyle {{\varphi }_{C}}={{\varphi }_{B}}+{{U}_{CB}}$ (4)

$\displaystyle {{\varphi }_{A}}={{\varphi }_{B}}-{{U}_{BA}}$ (5)

Подставим (4) и (5) в (3):

$\displaystyle {{U}_{CA}}={{\varphi }_{C}}-{{\varphi }_{A}}=({{\varphi }_{B}}+{{U}_{CB}})-({{\varphi }_{B}}-{{U}_{BA}})$ = $\displaystyle {{U}_{CB}}+{{U}_{BA}}$ (6)

Таким образом, напряжение в последовательной цепи равно сумме напряжений на каждом из элементов.

Рис. 2. Последовательное соединение проводников (общее сопротивление)

Часть задач школьной физики касается поиска общего сопротивления участка цепи, логика такого поиска: найти такое сопротивление, которым можно заменить цепь, чтобы параметры напряжения и силы тока остались неизменными (рис. 2). Пусть по цепи течёт ток $\displaystyle I$ , т.к. соединение последовательное, ток на каждом из элементов одинаков, тогда, используя закон Ома для участка цепи:

$\displaystyle {{U}_{BA}}=I{{R}_{1}}$ (7)

$\displaystyle {{U}_{CB}}=I{{R}_{2}}$ (8)

$\displaystyle {{U}_{CA}}=I{{R}_{0}}$ (9)

Подставим (7) — (9) в (6):

$\displaystyle I{{R}_{0}}=I{{R}_{1}}+I{{R}_{2}}$

Или, сократив на $\displaystyle I$ :

$\displaystyle {{R}_{0}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}}$

Обобщив данное выражение на любое количество последовательно соединённых сопротивлений, получим:

$\displaystyle {{R}_{0}}=\sum\limits_{i}{{{R}_{i}}}$ (10)

где
- $\displaystyle {{R}_{0}}$ — общее (полное) сопротивление цепи элементов, соединённых последовательно,
- $\displaystyle \sum\limits_{i}{{{R}_{i}}}$ — сумма последовательно соединённых сопротивлений.
параллельное соединение проводников

Рис. 3. Параллельное соединение проводников

Ток, подходящий в точку А ( $\displaystyle {{I}_{0}}$ ), разделяется на два потока: $\displaystyle {{I}_{1}}$ , текущий через сопротивление $\displaystyle {{R}_{1}}$ и $\displaystyle {{I}_{2}}$ , текущий через сопротивление $\displaystyle {{R}_{2}}$ . В точке В оба этих тока складываются в изначальной ток $\displaystyle {{I}_{0}}$ (т.к. электроны не могут «потеряться»), тогда:

$\displaystyle {{I}_{0}}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}$ (11)

Напряжения на каждом из элементов одинаково, т.к. сопротивления $\displaystyle {{R}_{1}}$ и $\displaystyle {{R}_{2}}$ подключены к одним и тем же точкам А и В, а напряжение, по сути, есть разность потенциалов между точками.

Рис. 4. Параллельное соединение проводников (общее сопротивление)

Поищем общее сопротивление такого соединения. Пусть разность потенциалов (напряжение) между точками А и В — $\displaystyle U$ . Тогда, исходя из закона Ома для участка цепи:

$\displaystyle {{I}_{0}}=\frac{U}{{{R}_{0}}}$ (12)

$\displaystyle {{I}_{1}}=\frac{U}{{{R}_{1}}}$ (13)

$\displaystyle {{I}_{2}}=\frac{U}{{{R}_{2}}}$ (14)

Подставим (12)-(14) в (11):

$\displaystyle \frac{U}{{{R}_{0}}}=\frac{U}{{{R}_{1}}}+\frac{U}{{{R}_{2}}}$

Сократим на $\displaystyle U$ :

$\displaystyle \frac{1}{{{R}_{0}}}=\frac{1}{{{R}_{1}}}+\frac{1}{{{R}_{2}}}$

Обобщив данное выражение на любое количество параллельно соединённых сопротивлений, получим:

$\displaystyle \frac{1}{{{R}_{0}}}=\sum\limits_{i}{\frac{1}{{{R}_{i}}}}$ (15)

где
- $\displaystyle {{R}_{0}}$ — общее (полное) сопротивление цепи элементов, соединённых параллельно,
- $\displaystyle \sum\limits_{i}{\frac{1}{{{R}_{i}}}}$ — обратная сумма параллельно соединённых сопротивлений.

Для цепи из двух сопротивлений:

$\displaystyle {{R}_{0}}=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}$ (16)

Вывод: в задачах, в которых присутствует цепь, необходимо рассмотреть, какое конкретно соединение рассматривается, а потом использовать соответствующую логику рассуждений:

для последовательного соединения
- ток в каждом элементе постоянен $\displaystyle I=const$ ,
- напряжение во всей цепи есть сумма напряжений на каждом из элементов $\displaystyle U=\sum\limits_{i}{{{U}_{i}}}$ ,
- полное сопротивление цепи есть сумма сопротивлений каждого из элементов $\displaystyle {{R}_{0}}=\sum\limits_{i}{{{R}_{i}}}$ .
для параллельного соединения
- ток во всей цепи есть сумма токов на каждом элементе $\displaystyle I=\sum\limits_{i}{{{I}_{i}}}$ ,
- напряжение на каждом элементе постоянно $\displaystyle U=const$
- обратное значение полного сопротивление равно сумме обратных сопротивлений каждого из элементов $\displaystyle \frac{1}{{{R}_{0}}}=\sum\limits_{i}{\frac{1}{{{R}_{i}}}}$ .

Параллельное и последовательное соединение проводников

Добавить комментарий Отменить ответ

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ