Элементы цепи могут быть подключены двумя способами:
- последовательно
- параллельно
Проиллюстрируем данные подключения на примере двух резисторов (рис. 1). Помним о том, что соединительные провода не имеют сопротивления (являются идеальными).
- последовательное соединение проводников
Просмотрим движение электронов по ABC. Т.к. электроны «потеряться» или «задержаться» нигде внутри проводника не могут, при последовательном подключении элементов сила тока, проходящая через каждый из проводников, одинакова.
С точки зрения логики, отдельно взятый электрон нужно «протащить» между точками АB, а потом между точками BC. «Протащить» — это, фактически значит, совершить работу по переносу заряда (за нас это делает электрическое поле):
(1)
- где
- — работа по переносу заряда,
- — переносимый заряд,
- , — потенциалы конечной и начальной точки переноса заряда.
Нами ранее уже было введено понятие напряжения:
(2)
- где
- — напряжение (разность потенциалов) между точками 2 и 1,
- , — потенциалы соответствующих точек.
Тогда, используя (2) и рисунок 1, проанализируем напряжения. Пусть:
- — напряжение (разность потенциалов) между точками С и А,
- — напряжение (разность потенциалов) между точками В и А,
- — напряжение (разность потенциалов) между точками С и В.
Тогда:
(3)
(4)
(5)
Подставим (4) и (5) в (3):
= (6)
Таким образом, напряжение в последовательной цепи равно сумме напряжений на каждом из элементов.
Часть задач школьной физики касается поиска общего сопротивления участка цепи, логика такого поиска: найти такое сопротивление, которым можно заменить цепь, чтобы параметры напряжения и силы тока остались неизменными (рис. 2). Пусть по цепи течёт ток , т.к. соединение последовательное, ток на каждом из элементов одинаков, тогда, используя закон Ома для участка цепи:
(7)
(8)
(9)
Подставим (7) — (9) в (6):
Или, сократив на :
Обобщив данное выражение на любое количество последовательно соединённых сопротивлений, получим:
(10)
- где
- — общее (полное) сопротивление цепи элементов, соединённых последовательно,
- — сумма последовательно соединённых сопротивлений.
- параллельное соединение проводников
Ток, подходящий в точку А (), разделяется на два потока: , текущий через сопротивление и , текущий через сопротивление . В точке В оба этих тока складываются в изначальной ток (т.к. электроны не могут «потеряться»), тогда:
(11)
Напряжения на каждом из элементов одинаково, т.к. сопротивления и подключены к одним и тем же точкам А и В, а напряжение, по сути, есть разность потенциалов между точками.
Поищем общее сопротивление такого соединения. Пусть разность потенциалов (напряжение) между точками А и В — . Тогда, исходя из закона Ома для участка цепи:
(12)
(13)
(14)
Подставим (12)-(14) в (11):
Сократим на :
Обобщив данное выражение на любое количество параллельно соединённых сопротивлений, получим:
(15)
- где
- — общее (полное) сопротивление цепи элементов, соединённых параллельно,
- — обратная сумма параллельно соединённых сопротивлений.
Для цепи из двух сопротивлений:
(16)
Вывод: в задачах, в которых присутствует цепь, необходимо рассмотреть, какое конкретно соединение рассматривается, а потом использовать соответствующую логику рассуждений:
- для последовательного соединения
- ток в каждом элементе постоянен ,
- напряжение во всей цепи есть сумма напряжений на каждом из элементов ,
- полное сопротивление цепи есть сумма сопротивлений каждого из элементов .
- для параллельного соединения
- ток во всей цепи есть сумма токов на каждом элементе ,
- напряжение на каждом элементе постоянно
- обратное значение полного сопротивление равно сумме обратных сопротивлений каждого из элементов .