Эффективные значения силы тока и напряжения

Работа с переменным током, в случае вынужденных колебаний, достаточно сложна. Но есть возможность привести сложное электромагнитное колебание к виду достаточно простого постоянного тока.

Основная идея: представим переменный ток в виде постоянного при условии равенства мощности постоянного тока и мощности переменного тока за один период колебания.

Итак:

  • для постоянного тока:

\displaystyle {{P}_{post}}=IU (1)

  • где
    • \displaystyle {{P}_{post}} — мощность постоянного тока,
    • \displaystyle I — сила постоянного тока,
    • \displaystyle U — напряжение в цепи постоянного тока.
  • для переменного тока

\displaystyle {{P}_{per}}=IU={{I}_{0}}\sin (\omega t+\varphi )*{{U}_{0}}\sin (\omega t+\varphi )={{I}_{0}}{{U}_{0}}{{\sin }^{2}}(\omega t+\varphi ) (2)

  • где
    • \displaystyle {{P}_{per}} — мощность переменного тока в момент времени \displaystyle t,
    • \displaystyle {{I}_{0}} — амплитудное (максимальное) значение силы тока,
    • \displaystyle {{U}_{0}} — амплитудное (максимальное) значение напряжение,
    • \displaystyle \omega — циклическая частота колебания,
    • \displaystyle \varphi — начальная фаза колебания,
    • \displaystyle t — момент времени.

Проанализируем фразу «средняя мощность за период». Усреднение (2) приводит к вопросу об усреднении синуса, из математики: \displaystyle <{{\sin }^{2}}(\omega t+\varphi )>={}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;, тогда средняя мощность переменного тока за период можно записать как:

\displaystyle {{P}_{per}}={{I}_{0}}{{U}_{0}}{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; (3)

Воспользуемся необходимым условием равенства мощностей (1) и (3):

\displaystyle {{I}_{eff}}{{U}_{eff}}=\frac{1}{2}{{I}_{0}}{{U}_{0}} (4)

  • где
    • \displaystyle {{I}_{eff}} — эффективное значение силы тока,
    • \displaystyle {{U}_{eff}} — эффективное значение напряжения.

Дальнейшая логика достаточно проста: т.к. сила тока и напряжение равнозначны, то запишем (4) в виде:

\displaystyle {{I}_{eff}}{{U}_{eff}}=\frac{{{I}_{0}}}{\sqrt{2}}\frac{{{U}_{0}}}{\sqrt{2}} (5)

Таким образом:

\displaystyle {{I}_{eff}}=\frac{{{I}_{0}}}{\sqrt{2}}        \displaystyle {{U}_{eff}}=\frac{{{U}_{0}}}{\sqrt{2}} (6)

Вывод: для расчёта параметров цепей переменного тока достаточно заменить её цепью постоянного тока при условии равенства мощностей за период. Выполнение данного условия приводит к использованию в цепи постоянного тока эффективных значений тока и напряжения (6). Т.е. все закономерности, характеризующие постоянный ток, будут справедливы и для переменного только при использовании эффективных значений.

Словесные обозначения:

    • амплитудное, максимальное — \displaystyle {{I}_{0}}, \displaystyle {{U}_{0}},
    • эффективное, действующее — \displaystyle {{I}_{eff}}, \displaystyle {{U}_{eff}}.