Построение в сферическом зеркале. Формула сферического зеркала

Для уже введённого нами сферического зеркала существует два условно разных типа задач:

задачи на построение в сферическом зеркале
задачи на формулу для сферического зеркала

Первый тип задач основан на фактическом построении хода лучей от источника и поиска пересечения отражённых от зеркала лучей. Рассмотрим ряд изображений, полученных от точечного источника, который будем помещать на различных расстояниях от зеркала. Напомним, для сферического зеркала существует 3 просчитанных траектории хода луча (рис. 1).

Рис. 1. Сферическое зеркало (общее)

синий. Луч, проходящий через фокус, отражаясь от зеркала, проходит параллельно главной оптической оси (свойство фокуса),
зелёный. Луч, падающий на главный оптический центр сферического зеркала, отражается под тем же углом (законы отражения),
красный. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после отражения проходит через фокус (свойство фокуса).

И помним о том, что точка пересечения двух любых отражённых лучей является изображением предмета ( $\displaystyle S'$ ).

Введём обозначения: пусть $\displaystyle F$ — фокусное расстояние (расстояние от оптического центра зеркала до фокуса), $\displaystyle d$ — расстояние от предмета до зеркала, $\displaystyle f$ — расстояние от изображения до зеркала. Проанализируем ход лучей при различных положениях источника:

$\displaystyle d\to \infty$ (источник находится очень далеко от сферического зеркала). В этом случае, мы можем считать, что все лучи от источника идут параллельно друг другу (рис. 2). Пустим два луча параллельно главной оптической оси.

Рис. 2. Сферическое зеркало (источник в бесконечности)

Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после отражения проходят через фокус, то точка фокуса и является точкой пересечения отражённый лучей, тогда она же и есть изображение источника (точечное, действительное).

$\displaystyle d>2F$ (источник находится за двойным фокусным расстоянием) (рис. 3).

Рис. 3. Сферическое зеркало (предмет за двойным фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через фокус (отражается параллельно главной оптической оси). Для визуализации изображения введём описание предмета через стрелку. Точка пересечения отразившихся лучей — изображение (уменьшенное, действительное, перевёрнутое). Положение — между фокусом и двойным фокусом.

$\displaystyle d=2F$ (источник находится ровно в двойном фокусе) (рис. 4).

Рис. 4. Сферическое зеркало (предмет в двойном фокусе)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через фокус (отражается параллельно главной оптической оси). Точка пересечения отразившихся лучей — изображение (того же размера, действительное, перевёрнутое). Положение — ровно в двойном фокусе.

$\displaystyle 2F>d>F$ (источник между фокусом и двойным фокусом) (рис. 5).

Рис. 5. Сферическое зеркало (предмет между фокусом и двойным фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через фокус (отражается параллельно главной оптической оси). Точка пересечения отразившихся лучей — изображение (увеличенное, действительное, перевёрнутое). Положение — за двойным фокусом.

$\displaystyle d=F$ (источник находится ровно в фокусе сферического зеркала) (рис. 6).

Рис. 6. Сферическое зеркало (предмет в фокусе)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и падающего в главный оптический центр зеркала (отражается под углом падения). В этом случае, оба отражённых луча оказались параллельными друг другу, т.е. точка пересечения отражённых лучей отсутствует. Это говорит о том, что изображения нет.

$\displaystyle d<F$ (источник находится между фокусом и главным оптическим центром) (рис. 7).

Рис. 7. Сферическое зеркало (предмет перед фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и падающего в главный оптический центр зеркала (отражается под углом падения). Однако отражённые лучи расходятся, т.е. сами отражённые лучи не пересекутся, зато могут пересечься продолжения лучей. Точка пересечения продолжений отразившихся лучей — изображение (увеличенное, мнимое, прямое). Положение — за зеркалом.

Таким образом, часть фраз, присутствующих в задаче и характеризующих изображение (его величину, мнимость/действительность, расположение и т.д.), может намекать на конкретный рисунок и облегчать построение и решение самой задачи. Достаточно часто численные данные в таких задачах берутся из рисунков, на которых расстояния заданы в виде пропорций (рисунок по клеточкам).

Второй тип задач — задачи с числовыми значениями расстояний $\displaystyle F$ , $\displaystyle d$ — и $\displaystyle f$ . Для сферического зеркала выводится соотношение:

$\displaystyle \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$ (1)

где
- $\displaystyle F$ — фокусное расстояние,
- $\displaystyle d$ — расстояние от предмета до зеркала,
- $\displaystyle f$ — расстояние от изображения до зеркала.

Такого типа задачи решаются геометрически и самой формулой (1).

Вывод: задачи со сферическими зеркалами, в целом, разделяются на два огромных класса: задачи на построение (логика вышеописанных рисунков) и задачи на формулу для сферического зеркала, которые можно определить по наличию численных значений для параметров, входящих в уравнение (1).

Поделиться ссылкой: