Точечные заряды закреплены на расстоянии

Задача. Точечные заряды \displaystyle {{q}_{1}}=30 нКл и \displaystyle {{q}_{2}}=60 нКл закреплены на расстоянии \displaystyle r=4,0 м друг от друга в вакууме. На средине отрезка прямой, соединяющей заряды, находится третий точечный заряд \displaystyle {{q}_{3}}=2,0 нКл. Определите модуль результирующей электростатической силы, действующей на третий заряд. Как направлена эта сила?

Дано:

\displaystyle {{q}_{1}}=30 нКл
\displaystyle {{q}_{2}}=60 нКл
\displaystyle {{q}_{3}}=2,0 нКл
\displaystyle r=4,0 м

Найти:
\displaystyle {{F}_{0}} — ?

Решение

Думаем: результирующую силу можно найти как векторную сумму сил, действующих на тело.

\displaystyle {{\vec{F}}_{0}}=\sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}} (1)

Для поиска модуля результирующей силы можно воспользоваться или проекцией или теоремами Пифагора, синусов/косинусов (что нам больше подойдёт увидим, когда нарисуем).

Исходя из системы, можем сказать, что на выбранный нами заряд (\displaystyle {{q}_{3}}) действуют силы Кулона со стороны других тел. Саму силу Кулона можно найти через:

\displaystyle F=k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}^{2}}} (2)

  • где
    • \displaystyle {{q}_{1}}\displaystyle {{q}_{2}} — взаимодействующие заряды,
    • \displaystyle r — расстояние между центрами взаимодействующих зарядов
    • \displaystyle k\approx 9*{{10}^{9}}  Н*м\displaystyle ^{2}/Кл\displaystyle ^{2} — постоянная, характерная для взаимодействия зарядов в вакууме/воздухе.

Решаем: для визуализации системы нарисуем рисунок по условию задачи (рис. 1).

Рис. 1. Распределение зарядов в задаче

Рис. 1. Распределение зарядов в задаче

Т.к. в рамках задачи все заряды положительны, то выбранный нами заряд (\displaystyle {{q}_{3}}) отталкивается двумя другими (рис. 2).

Рис. 2. Расстановка сил в задаче

Рис. 2. Расстановка сил в задаче

где \displaystyle {{F}_{13}} — сила Кулона, действующая со стороны первого заряда на третий, \displaystyle {{F}_{23}} — сила Кулона, действующая со стороны второго заряда на третий.

Тогда, исходя из (1):

\displaystyle {{\vec{F}}_{0}}={{\vec{F}}_{13}}+{{\vec{F}}_{23}} (3)

Проецируем (3) на ось, совпадающую с линией, соединяющей заряды.

\displaystyle {{F}_{0}}={{F}_{13}}-{{F}_{23}} (4)

Исходя из (2) найдём значения сил, учитывая, что заряд \displaystyle {{q}_{3}} находится по середине:

\displaystyle {{F}_{13}}=k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{3}}}{{{\left( {}^{r}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \right)}^{2}}}=k\frac{4{{q}_{1}}{{q}_{3}}}{{{r}^{2}}} (5)

\displaystyle {{F}_{23}}=k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{\left( {}^{r}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \right)}^{2}}}=k\frac{4{{q}_{2}}{{q}_{3}}}{{{r}^{2}}} (6)

Совмещаем (4) — (6):

\displaystyle {{F}_{0}}=k\frac{4{{q}_{1}}{{q}_{3}}}{{{r}^{2}}}-k\frac{4{{q}_{2}}{{q}_{3}}}{{{r}^{2}}}=4k\frac{{{q}_{3}}}{{{r}^{2}}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}}) (7)

Считаем: зная константы, просто поставим в (7).

\displaystyle {{F}_{0}}=4*9*{{10}^{9}}*\frac{2,0*{{10}^{-9}}}{{{(4,0)}^{2}}}(30*{{10}^{-9}}-60*{{10}^{-9}})=-13,5*{{10}^{-8}} Н

Знак минус говорит о том, что мы ошиблись с направлением. Но модуль силы мы всё равно нашли.

Ответ\displaystyle \left| {{F}_{0}} \right|=13,5*{{10}^{-8}} Н.

Ещё задачи на тему «Заряд. Закон Кулона»