Задача. Запишите кинематический закон движения материальной т

Задача. Запишите кинематический закон движения $\displaystyle x(t)$ материальной точки, если за промежуток времени $\displaystyle t1=1,0$ мин она совершает $\displaystyle N=120$ колебаний с амплитудой $\displaystyle A=10$ см. В момент времени $\displaystyle {{t}_{0}}=0$ точка двигалась в направлении оси и её координата $\displaystyle x(0)=5,0$ см.

Дано:

$\displaystyle t1=1,0$ мин
$\displaystyle N=120$
$\displaystyle A=10$ см
$\displaystyle x(0)=5,0$ см

Найти:
$\displaystyle x(t)$ — ?

Решение

Думаем: мы имеем дело с гармоническими колебаниями (других мы не знаем). Тогда:

$\displaystyle x(t)=A\sin (\omega t+{{\varphi }_{0}})$ (1)

или

$\displaystyle x(t)=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}})$ (2)

Чтобы выяснить какое именно уравнение нам использовать, проанализируем фразу «точка двигалась в направлении оси». Это значит что при увеличении времени, увеличивалась и его координата. Тогда мы должны выбрать соотношение (2), т.к. при росте времени растёт значение косинуса (а не синуса).

Циклическую частоту найдём из:

$\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}$ (3)

Период по определению (время одного полного колебания) может быть найден:

$\displaystyle T=\frac{t1}{N}$ (4)

Начальную фазу колебания найдём из (2) при условии знания начальной координаты $\displaystyle x(0)$ и начального момента времени $\displaystyle {{t}_{0}}=0$ :

$\displaystyle x(0)=A\cos ({{\varphi }_{0}})$ (5)

Решаем: получим все параметры, необходимые для (2)

для начальной фазы из (5):

$\displaystyle {{\varphi }_{0}}=\arccos \frac{x(0)}{A}$ (6)

для циклической частоты (4) при условии (5):

$\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{{}^{t1}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\;}=\frac{2\pi N}{t1}$ (7)

Подставим (6) и (7) в (2):

$\displaystyle x(t)=A\cos (\frac{2\pi N}{{{t}_{1}}}t+\arccos \frac{x(0)}{A})$ (8)

Считаем: переведём амплитуду и начальную координату в единицы СИ ( $\displaystyle A=10$ см $\displaystyle =0,1$ м, $\displaystyle x(0)=5,0$ см $\displaystyle =0,050$ м). Также нам необходимо узнать время в единицах СИ ( $\displaystyle {{t}_{1}}=1,0$ мин $\displaystyle =60$ с).

$\displaystyle x(t)=0,1\cos (\frac{2*\pi *120}{60}t+\arccos \frac{0,050}{0,1})$ $\displaystyle =0,1\cos (4\pi t+\frac{\pi }{3})$

Ответ: $\displaystyle x(t)=0,1\cos (4\pi t+\frac{\pi }{3})$ .

Ещё задачи на тему «Уравнение гармонических колебаний».

Поделиться ссылкой: