Задача Метровая линейка, находящаяся на опоре, удерживается в

Задача. Метровая линейка, находящаяся на опоре (рис. 1), удерживается в равновесии. Определите указание динамометра, если массы подвешенных грузов $\displaystyle {{m}_{1}}=0,60$ кг, $\displaystyle {{m}_{2}}=0,20$ кг. Как изменятся показания динамометра, если грузы поменять местами?

Дано:

$\displaystyle {{m}_{1}}=0,60$ кг
$\displaystyle {{m}_{2}}=0,20$ кг

Найти:
$\displaystyle F$ — ?
$\displaystyle {{F}_{2}}$ — ?

Решение

Думаем: тело, имеющее линейные размеры, удерживается в равновесии. Данная задача относится к задачам на статику (вследствие покоя самого тела).

Для решения такого типа задач необходимо найти моменты каждой из действующих сил:

$\displaystyle M=F*d$ (1)

А потом воспользоваться уравнением моментов:

$\displaystyle \sum{\vec{M}=0}$ (2)

Рис. 1. Система

Решаем: для начала сделаем рисунок, чтобы визуализировать $\displaystyle d$ — плечи каждой из сил (рис. 2). При этом будем считать, что на линейку в местах закрепления нити действует сила тяжести со стороны нитей через привязанные на них шарики.

Рис. 2. Силы и плечи в задаче

На тело действуют пять сил — три силы тяжести, удерживающая сила от динамометра и сила реакции опоры. Пусть тело не вращается относительно упора (относительно этой точки мы будем рассчитывать плечи сил). Запишем моменты сил, действующих на тело:

$\displaystyle {{M}_{1}}={{m}_{1}}g{{d}_{1}}$
$\displaystyle {{M}_{2}}={{m}_{2}}g{{d}_{2}}$
$\displaystyle {{M}_{3}}=F{{d}_{3}}$
$\displaystyle {{M}_{4}}=N*0$
$\displaystyle {{M}_{5}}=mg*0$

где $\displaystyle N$ — сила реакции опоры, действующая на линейку, $\displaystyle m$ — масса линейки. Т.к. плечо силы — это кратчайшее расстояние между точкой приложения силы и точкой вращения, то для силы тяжести линейки и силы реакции опоры эти параметры равны нулю (по рисунку). Далее расставим знаки: т.к. cbkf $\displaystyle {{m}_{1}}g$ вращает тело против часовой оси, а силы $\displaystyle {{m}_{2}}g$ и $\displaystyle F$ по часовой, то знаки расставляются соответствующим образом:

$\displaystyle {{M}_{1}}={{m}_{1}}g{{d}_{1}}$
$\displaystyle {{M}_{2}}=-{{m}_{2}}g{{d}_{2}}$
$\displaystyle {{M}_{3}}=-F{{d}_{3}}$

Подставим получившиеся значения в (2):

$\displaystyle {{m}_{1}}g{{d}_{1}}-{{m}_{2}}g{{d}_{2}}-F{{d}_{3}}=0$ (3)

Тогда из (3):

$\displaystyle F=\frac{{{m}_{1}}g{{d}_{1}}-{{m}_{2}}g{{d}_{2}}}{{{d}_{3}}}=g\frac{{{m}_{1}}{{d}_{1}}-{{m}_{2}}{{d}_{2}}}{{{d}_{3}}}$ (4)

В случае если грузы поменять местами:

$\displaystyle {{M}_{1}}=-{{m}_{1}}g{{d}_{2}}$
$\displaystyle {{M}_{2}}={{m}_{2}}g{{d}_{1}}$
$\displaystyle {{M}_{3}}=-F{{d}_{3}}$

Тогда из (3):

$\displaystyle {{F}_{2}}=\frac{{{m}_{1}}g{{d}_{2}}-{{m}_{2}}g{{d}_{1}}}{{{d}_{3}}}=g\frac{{{m}_{1}}{{d}_{2}}-{{m}_{2}}{{d}_{1}}}{{{d}_{3}}}$ (5)

Считаем: для школьной физики ускорение свободного падения принимаем как $\displaystyle g=10$ м/с $\displaystyle ^{2}$ .

В соотношении (4) не хватает значений плеч. Найдём их из условия того, что линейка метровая и рисунка 2:

$\displaystyle {{d}_{1}}=50-10=40$ см $\displaystyle =0,4$ м;
$\displaystyle {{d}_{2}}=60-50=10$ см $\displaystyle =0,1$ м;
$\displaystyle {{d}_{3}}=90-50=40$ см $\displaystyle =0,4$ м;

Тогда из (4):

$\displaystyle F=10*\frac{0,60*0,4-0,20*0,1}{0,4}=5,5$ Н

Тогда из (5):

$\displaystyle {{F}_{2}}=10*\frac{0,60*0,1-0,2*0,4}{0,4}=-0,5$ Н

Т.к. сила получилась отрицательной, то это значит, что направление силы должно быть обратным описанному на рисунке 2. Т.к. сила $\displaystyle {{F}_{2}}$ должна «поддерживать» линейку от падения.

Ответ: $\displaystyle F=5,5$ Н; $\displaystyle {{F}_{2}}=0,5$ Н.

Ещё задачи на тему «Статика».

Поделиться ссылкой: