Электрон и протон из состояния покоя ускоряются в одном

Задача. Электрон и протон из состояния покоя ускоряются в одном и том же однородном электростатическом поле до скоростей, модули которых значительно меньше скорости света. Определите отношение модулей скоростей электрона и протона после прохождения одного и того же расстояния. Масса электрона \displaystyle {{m}_{e}}=9,11\cdot {{10}^{-31}} кг, масса протона \displaystyle {{m}_{p}}=1,67\cdot {{10}^{-27}} кг.

Дано:

\displaystyle {{m}_{e}}=9,11\cdot {{10}^{-31}} кг
\displaystyle {{m}_{p}}=1,67\cdot {{10}^{-27}} кг

Найти:
\displaystyle {}^{{{\upsilon }_{e}}}\!\!\diagup\!\!{}_{{{\upsilon }_{p}}}\; — ?

Решение

Думаем: изменение скорости (а, соответственно, и кинетической энергии) достигается за счёт работы поля. Тогда связь между работой поля и кинетической энергией можно обнаружить из теоремы об изменении кинетической энергии:

\displaystyle A=\Delta E=\frac{m{{\upsilon }^{2}}}{2} (1)

т.к. начальная кинетическая энергия равна 0.

Работу электрического поля найдём через определение:

\displaystyle A=qE\Delta r\cos \alpha (2)

Решаем: подставим (2) в (1) и выделим искомую скорость.

\displaystyle qE\Delta r\cos \alpha =\frac{m{{\upsilon }^{2}}}{2}\Rightarrow \upsilon =\sqrt{\frac{2qE\Delta r\cos \alpha }{m}} (3)

Получившаяся скорость характеризует движение как протона, так и электрона, тогда и для той и для другой частицы подставим характеристики движущихся частиц:

\displaystyle {{\upsilon }_{e}}=\sqrt{\frac{2eE\Delta r\cos \alpha }{{{m}_{e}}}} (4)

\displaystyle {{\upsilon }_{p}}=\sqrt{\frac{2eE\Delta r\cos \alpha }{{{m}_{p}}}} (5)

где \displaystyle q=e — модуль заряда электрона и протона.

Найдём искомое поделив (4) на (5):

\displaystyle {}^{{{\upsilon }_{e}}}\!\!\diagup\!\!{}_{{{\upsilon }_{p}}}\;=\sqrt{\frac{2eE\Delta r\cos \alpha }{{{m}_{e}}}}*\sqrt{\frac{{{m}_{p}}}{2eE\Delta r\cos \alpha }} \displaystyle =\sqrt{\frac{2eE\Delta r\cos \alpha *{{m}_{p}}}{2eE\Delta r\cos \alpha *{{m}_{e}}}} \displaystyle =\sqrt{\frac{{{m}_{p}}}{{{m}_{e}}}} (6)

Считаем:

\displaystyle {}^{{{\upsilon }_{e}}}\!\!\diagup\!\!{}_{{{\upsilon }_{p}}}\;=\sqrt{\frac{9,11*{{10}^{-31}}}{1,67*{{10}^{-27}}}}=\sqrt{5,46*{{10}^{4}}}\approx 2,34*{{10}^{2}}

Ответ: \displaystyle {}^{{{\upsilon }_{e}}}\!\!\diagup\!\!{}_{{{\upsilon }_{p}}}\;\approx 2,34*{{10}^{2}}.

Ещё задачи на тему «Работа электрического поля»