Задача. Гелий, изобарно расширяется. При этом сила давления газа

Задача. Гелий, взятый в количестве $\displaystyle v=2,50$ моль, изобарно расширяется. При этом сила давления газа совершает работу $\displaystyle A=9,80$ кДж. Определите начальную температуру гелия, если его масса не меняется, а концентрация молекул в конечном состоянии в два раза меньше, чем в начальном.

Дано:

$\displaystyle v=2,50$ моль
$\displaystyle A=9,80$ кДж

Найти:
$\displaystyle {{T}_{1}}$ — ?

Решение

Думаем: температуру, которую необходимо найти, можно связать с заданным химическим количеством через уравнение Менделеева-Клапейрона:

$\displaystyle PV=\nu RT$ (1)

Неизвестные параметры давления и объёма присутствуют в определении работы, совершённой газом (для чего она нам и дана):

$\displaystyle A=P\Delta V$ (2)

И последнее, нам приведены рассуждения по концентрациям, поэтому введём и это определение:

$\displaystyle C=\frac{N}{V}$ (3)

где $\displaystyle C$ — концентрация газа, $\displaystyle N$ — количество молекул газа, $\displaystyle V$ — объём газа.

Решаем: для описания перехода газа из одного состояния в другое удобно использовать метод банок. Для этого нарисуем баллоны и запишем в них все параметры газа, которые необходимы для соотношения (1). Формой сосуда (изменение объёма) можно пренебречь, поэтому визуализируем сосуд с газом в первом и втором состоянии одинаковой банкой (рис. 1).

Рис. 1. Параметры системы

Банка 1 — начальное состояние системы. Газ находится при начальном давлении ( $\displaystyle {{P}}$ ), начальной температуре ( $\displaystyle {{T}_{1}}$ ) и начальном объёме ( $\displaystyle {{V}_{1}}$ ). При этом химическое количество вещества ( $\displaystyle \nu$ ), которое в описанных в задаче процессах не изменяется.

Реализуем (1) в этом случае:

$\displaystyle {{P}}{{V}_{1}}=\nu R{{T}_{1}}$ (4)

Банка 2 — следующее состояние системы. Объём газа при этом $\displaystyle {{V}_{2}}$ , давление при условии изобарности, заданной в задаче — $\displaystyle {{P}}$ , температура новая — $\displaystyle {{T}_{2}}$ и изначальное химическое количество ( $\displaystyle \nu$ ). Реализуем (1) в этом случае:

$\displaystyle {{P}}{{V}_{2}}=\nu R{{T}_{2}}$ (5)

В соотношении (4) присутствует искомая температура, но параметры давления и объёма в этом уравнении неизвестны. Разберёмся с объёмом. По задаче нам сказано, что концентрация газа в начальном и конечном состоянии различается в два раза. Кроме того, масса газа не изменяется, что говорит о том, что и количество молекул газа остаётся постоянным. Исходя из (3) опишем эти рассуждения:

$\displaystyle C=\frac{N}{{{V}_{1}}}$ (6)

$\displaystyle \frac{C}{2}=\frac{N}{{{V}_{2}}}$ (7)

Поделим (6) на (7):

$\displaystyle \frac{C}{{}^{C}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}=\frac{{}^{N}\!\!\diagup\!\!{}_{{{V}_{1}}}\;}{{}^{N}\!\!\diagup\!\!{}_{{{V}_{2}}}\;}\Rightarrow 2=\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}\Rightarrow {{V}_{2}}=2{{V}_{1}}$ (8)

С использованием (8), работа газа, описанная в (2) может быть записана в виде:

$\displaystyle A=P({{V}_{2}}-{{V}_{1}})=P{{V}_{2}}-P{{V}_{1}}$ $\displaystyle A=P(2{{V}_{1}}-{{V}_{1}})=P{{V}_{1}}$ (9)

Тогда, подставим (4) в (9) и выразим необходимую температуру:

$\displaystyle A=\nu R{{T}_{1}}\Rightarrow {{T}_{1}}=\frac{A}{\nu R}$ (10)

Считаем: помним о значении универсальной газовой постоянной $\displaystyle R\approx 8,31$ м $\displaystyle ^{2}$ *кг*с $\displaystyle ^{-2}$ *К $\displaystyle ^{-1}$ *Моль $\displaystyle ^{-1}$ .

$\displaystyle {{T}_{1}}=\frac{9,80*{{10}^{3}}}{2,50*8,31}\approx 472$ К

Ответ: $\displaystyle {{T}_{1}}\approx 472$ К.

Ещё задачи на тему «Работа и внутренняя энергия идеального газа«.

Поделиться ссылкой: