Задача. Под действием внешней силы, модуль которой Н, упругая

Задача. Под действием внешней силы, модуль которой $\displaystyle F=100$ Н, упругая пружина удлинилась на $\displaystyle \Delta {{l}_{1}}=5,0$ см. Определите работу, которую должна совершить внешняя сила, чтобы удлинить пружину ещё на $\displaystyle \Delta {{l}_{2}}=4,0$ см

Дано:

$\displaystyle F=100$ Н $\displaystyle \Delta {{l}_{1}}=5,0$ см $\displaystyle \Delta {{l}_{2}}=4,0$ см

Найти:
$\displaystyle A$ — ?

Решение

Думаем: исходя из теоремы об изменении энергии, мы можем найти работу силы.

$\displaystyle A={{E}_{2}}-{{E}_{1}}$ (1)

где $\displaystyle {{E}_{1}}$ , $\displaystyle {{E}_{2}}$ — начальная и конечная энергия системы. Энергию любого деформированного состояния можно найти из потенциальной энергии пружины:

$\displaystyle E=\frac{k{{x}^{2}}}{2}$ (2)

Вопрос о жёсткости пружины можно решить исходя из оставшейся в дано силы:

$\displaystyle F=kx$ (3)

Решаем: адаптируем (1) для нашей системы

$\displaystyle A=\frac{k{{(\Delta {{l}_{1}}+\Delta {{l}_{2}})}^{2}}}{2}-\frac{k\Delta l_{1}^{2}}{2}=\frac{k}{2}\left( {{(\Delta {{l}_{1}}+\Delta {{l}_{2}})}^{2}}-\Delta l_{1}^{2} \right)$ (4)

При этом $\displaystyle \Delta {{l}_{1}}+\Delta {{l}_{2}}$ — суммарное удлинение пружины. Для нахождения неизвестной жёсткости, выразим её из (3), предварительно адаптируя под дано:

$\displaystyle F=k\Delta {{l}_{1}}\Rightarrow k=\frac{F}{\Delta {{l}_{1}}}$ (5)

Подставим (5) в (4):

$\displaystyle A=\frac{F}{2\Delta {{l}_{1}}}\left( {{(\Delta {{l}_{1}}+\Delta {{l}_{2}})}^{2}}-\Delta l_{1}^{2} \right)$ (6)

Считаем: для подсчёта нам необходимо перевести растяжение пружины в единицы СИ ( $\displaystyle \Delta {{l}_{1}}=5,0$ см $\displaystyle =5,0*{{10}^{-2}}$ м, $\displaystyle \Delta {{l}_{2}}=4,0$ см $\displaystyle =4,0*{{10}^{-2}}$ м). Тогда:

$\displaystyle A=\frac{100}{2*5,0*{{10}^{-2}}}\left( {{(5,0*{{10}^{-2}}+4,0*{{10}^{-2}})}^{2}}-{{(5,0*{{10}^{-2}})}^{2}} \right)$ $\displaystyle =\frac{100}{10,0*{{10}^{-2}}}*\left( {{(9,0)}^{2}}-{{(5,0)}^{2}} \right)*{{10}^{-4}}$ $\displaystyle =5,6$ Дж

Ответ: $\displaystyle A=5,6$ Дж.

Ещё задачи на тему «Энергия гармонических колебаний«.

Поделиться ссылкой: