Определите массу, теряемую Солнцем за год, если на участок поверхности Земли

Задача. Определите массу, теряемую Солнцем за год, если на участок поверхности Земли площадью \displaystyle S=5,0 см2 ежесекундно попадает \displaystyle {{E}_{0}}=19,6 Дж энергии излучения. Расстояние от Земли до Солнца \displaystyle R=1,5\cdot {{10}^{8}} км.

Дано:

\displaystyle S=5,0 см2
\displaystyle {{E}_{0}}=19,6 Дж
\displaystyle R=1,5\cdot {{10}^{8}} км

Найти:
\displaystyle m — ?

Решение

Думаем: будем считать, что масса, теряемая Солнце расходуется только на излучение. Связь массы и энергии описывается уравнением Эйнштейна:

\displaystyle E=m{{c}^{2}} (1)

Второе упрощение, которым мы воспользуемся — будем считать, что Солнце излучает во все стороны одинаково. Тогда:

\displaystyle \frac{{{E}_{0}}}{S}=\frac{E}{{{S}_{p}}} (2)

Т.е. считаем, что вся энергия, излучаемая солнцем попадает на внутреннюю поверхность  сферы радиуса \displaystyle R. Обозначим площадь данной поверхности как \displaystyle {{S}_{p}}. А за счёт того, что энергия распространяется во все стороны одинаково, то энергия, попавшая на поверхность Земли пропорциональна площадке, на которую падает свет.

Тогда, площадь поверхности сферы:

\displaystyle {{S}_{p}}=4\pi {{R}^{2}} (3)

Решаем: выразим массу из (1)

\displaystyle m=\frac{E}{{{c}^{2}}} (4)

Из соотношения (5) выразим полную энергию:

\displaystyle E={{E}_{0}}\frac{S}{{{S}_{p}}} (5)

Подставим (3) в (5) и получившееся соотношение в (3):

\displaystyle E={{E}_{0}}\frac{4\pi {{R}^{2}}}{S{{c}^{2}}} (6)

Считаем:  вспоминаем значение скорости света (\displaystyle c=3*{{10}^{8}} м/с), константу \displaystyle \pi \approx 3,14 и переведём площадь в единицы СИ (\displaystyle S=5,0 см\displaystyle ^{2} = \displaystyle 5,0*{{10}^{-4}} м\displaystyle ^{2}). Тогда:

\displaystyle m=19,6*\frac{4*3,14*{{\left( 1,5*{{10}^{8}} \right)}^{2}}}{5,0*{{10}^{-4}}*{{(3*{{10}^{8}})}^{2}}}=12,3*{{10}^{4}} кг

Ответ: \displaystyle m=12,3*{{10}^{4}} кг.

Ещё задачи на тему «Элементы релятивистской динамики»