Задача Энергия электростатического поля заряженного плоского

Задача. Энергия электростатического поля заряженного плоского конденсатора $\displaystyle {{W}_{1}}=10$ мкДж, если между его обкладками находится керосин, диэлектрическая проницаемость которого $\displaystyle {{\varepsilon }_{1}}=2,0$ . Определите энергию поля этого конденсатора, если пространство между его обкладками будет заполнено маслом, диэлектрическая проницаемость которого $\displaystyle {{\varepsilon }_{1}}=2,5$ .

Дано:

$\displaystyle {{W}_{1}}=10$ мкДж
$\displaystyle {{\varepsilon }_{1}}=2,0$
$\displaystyle {{\varepsilon }_{1}}=2,5$

Найти:
$\displaystyle {{W}_{2}}$ — ?

Решение

Думаем: энергию конденсатора можно найти различными способами. Проанализируем, что в нашем случае будет лучше. Если конденсатор уже заряжен, то при всех изменениях с конденсатором параметр заряда на нём остаётся постоянным ( $\displaystyle q=const$ ). Изменение диэлектрической проницаемости лучше всего описывается через электроёмкость:

$\displaystyle C=\frac{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}S}{d}$ (1)

Тогда энергию проще всего анализировать через:

$\displaystyle W=\frac{{{q}^{2}}}{2C}$ (2)

Решаем: запишем (1) в (2) для гипотетического конденсатора с гипотетической диэлектрической проницаемостью.

$\displaystyle W=\frac{{{q}^{2}}}{2C}=\frac{{{q}^{2}}}{2}\frac{1}{C}=\frac{{{q}^{2}}}{2}\frac{d}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}S}=\frac{{{q}^{2}}d}{2\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}S}$ (3)

Соотношение (3) описывает энергию и для первого и для второго состояния конденсатора. Запишем (3) для этих состояний конденсаторов, зная, что заряды и все параметры конденсатора, кроме диэлектрической проницаемости, остаются одинаковыми:

$\displaystyle {{W}_{1}}=\frac{{{q}^{2}}d}{2{{\varepsilon }_{1}}{{\varepsilon }_{0}}S}$ (4)

$\displaystyle {{W}_{2}}=\frac{{{q}^{2}}d}{2{{\varepsilon }_{2}}{{\varepsilon }_{0}}S}$ (5)

Таким образом, нам не нужно решать одну и ту же задачу по поиску энергии двух конденсаторов дважды. Теперь достаточно поделить (5) на (4):

$\displaystyle \frac{{{W}_{2}}}{{{W}_{1}}}=\frac{{{q}^{2}}d}{2{{\varepsilon }_{2}}{{\varepsilon }_{0}}S}*\frac{2{{\varepsilon }_{1}}{{\varepsilon }_{0}}S}{{{q}^{2}}d}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}$ $\displaystyle \Rightarrow {{W}_{2}}={{W}_{1}}\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}$ (6)

Считаем:

$\displaystyle {{W}_{2}}=10*{{10}^{-6}}*\frac{2,5}{2,0}=12,5*{{10}^{-6}}$ Дж

Ответ: $\displaystyle {{W}_{2}}=12,5$ мкДж.

Ещё задачи на тему «Плоский конденсатор. Электроёмкость»

Поделиться ссылкой: