Правила Кирхгофа для разветвлённых цепей

Введём понятие узла. Узел – точка цепи, в которой сходится не менее трёх проводников.

Тогда разветвлённой цепью назовём цепь, имеющую один или более узлов.

Для расчёта таких цепей используются два правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа

Рис. 1. Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа: сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла (рис. 1). A — узел в цепи постоянного тока. Путь в цепи протекают токи \displaystyle {{I}_{1}} — \displaystyle {{I}_{4}}. Тогда, исходя из первого правила Кирхгофа:

\displaystyle {{I}_{1}}+{{I}_{4}}={{I}_{2}}+{{I}_{3}}

Или, обобщая:

\displaystyle \sum\limits_{i}{{{I}_{i}}}=\sum\limits_{j}{{{I}_{j}}} (1)

  • где
    • \displaystyle \sum\limits_{i}{{{I}_{i}}} — сумма токов, входящих в узел,
    • \displaystyle \sum\limits_{j}{{{I}_{j}}} — сумма токов, выходящих из узла.
Второе правило Кирхгофа (цепь)

Рис. 2. Второе правило Кирхгофа (цепь)

Второе правило Кирхгофа касается такого понятия как контур. Назовём контуром замкнутый участок цепи, содержащий любые элементы цепи. Для визуализации правила введём произвольную цепь с узлами (рис. 2). Пусть наша цепь содержит резисторы \displaystyle {{R}_{1}} — \displaystyle {{R}_{3}}, конденсатор ёмкостью \displaystyle C и два источника ЭДС \displaystyle {{\varepsilon }_{1}}, \displaystyle {{\varepsilon }_{2}} с собственными внутренними сопротивлениями \displaystyle {{r}_{1}} и \displaystyle {{r}_{2}} соответственно.

Второе правило Кирхгофа (Контур)

Рис. 3. Второе правило Кирхгофа (Контур)

По нашей схеме нарисуем контуры (рис. 3). В цепе можно выделить 3 контура обхода: для определённости, красный, синий и зелёный.

Расставим токи для каждого из элементов, обладающих сопротивлением (рис. 4). Направление силы тока выбираем случайным образом.

Второе правило Кирхгофа (Сила тока)

Рис. 4. Второе правило Кирхгофа (Сила тока)

Тогда второе правило Кирхгофа — сумма падений напряжений на каждом из элементов контура равно сумме ЭДС в этом контуре.

Учитывая закон Ома для участка цепи:

\displaystyle U=IR (2)

  • где
    • \displaystyle U — напряжение,
    • \displaystyle I — сила тока,
    • \displaystyle R — сопротивление.

Тогда второе правило Кирхгофа формульно:

\displaystyle \sum\limits_{i}{{{I}_{i}}{{R}_{i}}=\sum\limits_{j}{{{\varepsilon }_{j}}}} (3)

  • где
    • \displaystyle \sum\limits_{j}{{{\varepsilon }_{j}}} — сумма ЭДС в контуре,
    • \displaystyle \sum\limits_{i}{{{I}_{i}}{{R}_{i}}} — сумма падений напряжения в контуре.

Тогда составим второе правило Кирхгофа для контуров на рис. 3 при нескольких условиях:

  • ток считать положительным при совпадении направления обхода и отрицательным при несовпадении;
  • ЭДС считать положительным при направлении обхода совпадающим с генерацией тока в источнике (от плюса к минусу) и отрицательным в обратном случае.

Итак, зелёный контур:

\displaystyle {{I}_{5}}{{r}_{1}}+{{I}_{3}}{{R}_{3}}-{{I}_{2}}{{R}_{2}}={{\varepsilon }_{1}} (4)

Для синего контура:

\displaystyle -{{I}_{1}}{{R}_{1}}+{{I}_{4}}{{r}_{2}}-{{U}_{c}}-{{I}_{2}}{{R}_{2}}={{\varepsilon }_{2}} (5)

Для красного контура:

\displaystyle {{I}_{1}}{{R}_{1}}+{{I}_{5}}{{r}_{1}}+{{I}_{3}}{{R}_{3}}+{{U}_{c}}-{{I}_{4}}{{r}_{2}}={{\varepsilon }_{1}}-{{\varepsilon }_{2}} (6)

Вывод: правила Кирхгофа (1) и (3) можно использовать для любого вида цепей, однако наибольшую пользу они приносят в случае разветвлённых цепей, в которых есть узлы. При использовании правил необходимо опираться на следующие идеи:

  • ищем узлы и расписываем первое правило Кирхгофа (1) для каждого из них (часть уравнений может получится одинаковым);
  • по количеству получившихся уравнений и неизвестных узнаём количество добавочных уравнений;
  • определяем контур (или несколько), который будем использовать во втором правиле Кирхгофа (3);
  • задаём направление обхода в контуре (произвольно);
  • обозначаем токи на каждом из элементов, имеющих сопротивление (направление тока выбираем произвольно);
  • записываем второе правило Кирхгофа для контура (условия выше).

Добавить комментарий