Импульс и энергия релятивистской частицы

Мы уже ввели релятивистскую частицу и эффекты, связанные с релятивистским движением. Напомним, что прилагательное «релятивистское» обозначает движение тел с близкими к световой скоростями. Большинство соотношений в данной теме вывести достаточно сложно, поэтому просто верим.

Итак, введённый нами импульс (\displaystyle p=m\upsilon ) при условии релятивистской массы (\displaystyle m=\frac{{{m}_{0}}}{\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}) может быть записан как:

\displaystyle p=\frac{{{m}_{0}}}{\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}\upsilon (1)

  • где
    • \displaystyle {{m }_{0}} — масса тела при нулевой скорости,
    • \displaystyle m —  масса тела при скорости \displaystyle \upsilon ,
    • \displaystyle \upsilon — скорость тела,
    • \displaystyle c\approx 3*{{10}^{8}} м/с — скорость света (константа).

Немного о \displaystyle {{m}_{0}} — массе неподвижного в данной системе тела, называемой массой покоя.

Великим Эйнштейном было получено уникальное соотношение, характеризующее полную энергию движущейся частицы:

\displaystyle E=m{{c}^{2}} (2)

  • где
    • \displaystyle E — полная энергия движущейся частицы,
    • \displaystyle m — релятивистская масса,
    • \displaystyle c\approx 3*{{10}^{8}} м/с — скорость света (константа).

Логично предположить, что наименьшей энергией обладает тело, которое покоится в данной системе, назовём эту энергию энергией покоя:

\displaystyle {{E}_{0}}={{m}_{0}}{{c}^{2}} (3)

  • где
    • \displaystyle {{E}_{0}} — энергия покоя тела,
    • \displaystyle {{m}_{0}} — масса покоя тела,
    • \displaystyle c\approx 3*{{10}^{8}} м/с — скорость света (константа).

Тогда кинетическая энергия движущегося тела может быть найдена как разность между полной энергией и энергией покоя:

\displaystyle {{E}_{k}}=E-{{E}_{0}} (4)

  • где
    • \displaystyle {{E}_{k}} — кинетическая энергия тела,
    • \displaystyle E — полная энергия тела,
    • \displaystyle {{E}_{0}} — энергия покоя тела.

Или:

\displaystyle {{E}_{k}}=E-{{E}_{0}}=(m-{{m}_{0}}){{c}^{2}}=m{{c}^{2}}(1-\frac{{{m}_{0}}}{m})=\displaystyle m{{c}^{2}}(1-\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}})=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}(1-\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}})=\displaystyle \frac{{{m}_{0}}{{\upsilon }^{2}}}{1+\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}} (5)

При условии \displaystyle \upsilon <<c (скорость тела очень мала по сравнению со скоростью света) получим \displaystyle \frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}\to 0 (отношение скорости тела к скорости света стремиться к нулю), и соотношение (5) принимает вид \displaystyle {{E}_{k}}=\frac{m{{\upsilon }^{2}}}{2} — т.е. вид кинетической энергии в классической механике.

Вывод: в случае релятивистской механики (скорость частицы велика) достаточно помнить, что энергетические характеристики тела выражаются через более сложные соотношения (1) — (5). С точки зрения энергии, главное понять по задаче, какую энергию нам необходимо найти — покоя, полную или кинетическую.