Сообщающиеся сосуды

Сообщающиеся сосуды

Рис. 1. Сообщающиеся сосуды

Сообщающиеся сосуды — сосуды, у которых есть несколько выходов (отверстий) любой формы, но сообщающиеся друг с другом посредством каналов, заполненных однородной жидкостью (рис. 1). В нашем рисунке сосуды (1-4) имеют разную форму и выходную площадь.

Закон сообщающихся сосудов: в сообщающихся сосудах (открытых сверху), заполненных однородной жидкостью, поверхности жидкости устанавливаются на одном уровне. Кроме того, давление во всех точках жидкости, расположенных в одной горизонтальной плоскости, одинаково и независимо от формы сосудов.

Сообщающиеся сосуды. Манометр

Рис. 2. Сообщающиеся сосуды. Манометр

Классические школьные задачи на данную тему касаются У-образных манометров (рис. 2). При наливании жидкости или выведении её из положения равновесия мы можем получить неодинаковые уровни жидкости в коленах манометра (двух различных выходах).

Задачи с использованием данных приборов часто касаются внесением в систему ряда различных несмешивающихся жидкостей, которые образуют покоящуюся систему с различными уровнями этих жидкостей.

Манометр_Уровни жидкости

Рис. 3. Манометр_Уровни жидкости

Разберём логику таких задач: пусть в манометр изначально была налита жидкость 1, плотностью \displaystyle {{\rho }_{1}}, затем в правое и левое колена были налиты жидкости 2 и 3 с плотностями \displaystyle {{\rho }_{2}} и \displaystyle {{\rho }_{3}} соответственно (рис. 3). Пусть площади колен \displaystyle S{}_{1} и \displaystyle S{}_{2} соответственно.

Выберем уровень АB так, чтобы с одной стороны от него (снизу) в коленах была одна и та же жидкость (жидкость 1). Введём высоты жидкостей в коленах относительно выбранного уровня (\displaystyle {{h}_{1}}\displaystyle {{h}_{2}} и \displaystyle {{h}_{3}}) (рис.3).

Тогда, по закону сообщающихся сосудов, поверхности однородной жидкости устанавливаются на одном уровне (в нашем рассмотрении это уровень AB, однородная жидкость снизу). С другой стороны, если жидкости находятся в равновесии, то, исходя из второго закона Ньютона, сумма сил, действующих на жидкость, равна 0. Таким образом, силы, действующие на жидкость 1 в правом колене и в левом, одинаковы:

\displaystyle {{F}_{1}}+{{F}_{3}}={{F}_{2}} (1)

  • где
    • \displaystyle {{F}_{1}} — сила, действующая на слой AB со стороны жидкости 1,
    • \displaystyle {{F}_{2}} — сила, действующая на слой AB со стороны жидкости 2,
    • \displaystyle {{F}_{3}} — сила, действующая на слой AB со стороны жидкости 3.

По определению давления:

\displaystyle P=\frac{F}{S} (2)

Тогда:

\displaystyle {{P}_{1}}{{S}_{1}}+{{P}_{3}}{{S}_{1}}={{P}_{2}}{{S}_{2}} (3)

  • где
    • \displaystyle {{P}_{1}} — давление, оказываемое жидкостью 1 на слой AB,
    • \displaystyle {{P}_{2}} — давление, оказываемое жидкостью 2 на слой AB,
    • \displaystyle {{P}_{3}} — давление, оказываемое жидкостью 3 на слой AB.

Таким образом, можно сказать, что сумма произведений давлений и соответствующих площадей, действующих на уровень АВ в правом и левом коленах, равны. Вспоминаем значение гидростатического давления:

\displaystyle P=\rho gh (4)

Подставим (4) в (3):

\displaystyle {{\rho }_{1}}g{{h}_{1}}{{S}_{1}}+{{\rho }_{3}}g{{h}_{3}}{{S}_{1}}={{\rho }_{2}}g{{h}_{2}}{{S}_{2}} (5)

Сократим на \displaystyle g:

\displaystyle {{\rho }_{1}}{{h}_{1}}{{S}_{1}}+{{\rho }_{3}}{{h}_{3}}{{S}_{1}}={{\rho }_{2}}{{h}_{2}}{{S}_{2}} (6)

Модифицируем (6) для общего случая:

\displaystyle {{S}_{1}}\sum\limits_{i}{{{\rho }_{i}}{{h}_{i}}}={{S}_{2}}\sum\limits_{j}{{{\rho }_{j}}{{h}_{j}}} (7)

  • где
    • \displaystyle \sum\limits_{i}{{{\rho }_{i}}{{h}_{i}}} — сумма произведений плотностей и высот несмешивающихся жидкостей в колене 1,
    • \displaystyle {{S}_{1}} — площадь колена 1,
    • \displaystyle \sum\limits_{j}{{{\rho }_{j}}{{h}_{j}}} — сумма произведений плотностей и высот несмешивающихся жидкостей в колене 2,
    • \displaystyle {{S}_{2}} — площадь колена 2.

Уравнение (7) можно использовать для любого количества несмешивающихся жидкостей, которые наслоили друг на друга в обоих коленах манометра. Основное условие — жидкость должна покоится.

Часто применяется случай одинаковых площадей колен, тогда (7) можно упростить:

\displaystyle \sum\limits_{i}{{{\rho }_{i}}{{h}_{i}}}=\sum\limits_{j}{{{\rho }_{j}}{{h}_{j}}} (8)

В любом случае, вывод уравнений основан на логике покоящийся жидкости и гидростатическом давлении, т.е. на основании механических выкладок.

Вывод: задачи на сообщающиеся сосуды, в целом, одинаковы. Для покоящейся жидкости можно использовать соотношение (7), если площади колен разные, или соотношение (8), если трубки имеют один и тот же размер.

Добавить комментарий