Закон сообщающихся сосудов. Налито несколько несмешивающихся

Рис. 1. Сообщающиеся сосуды

Сообщающиеся сосуды — сосуды, у которых есть несколько выходов (отверстий) любой формы, но сообщающиеся друг с другом посредством каналов, заполненных однородной жидкостью (рис. 1). В нашем рисунке сосуды (1-4) имеют разную форму и выходную площадь.

Закон сообщающихся сосудов: в сообщающихся сосудах (открытых сверху), заполненных однородной жидкостью, поверхности жидкости устанавливаются на одном уровне. Кроме того, давление во всех точках жидкости, расположенных в одной горизонтальной плоскости, одинаково и независимо от формы сосудов.

Рис. 2. Сообщающиеся сосуды. Манометр

Классические школьные задачи на данную тему касаются У-образных манометров (рис. 2). При наливании жидкости или выведении её из положения равновесия мы можем получить неодинаковые уровни жидкости в коленах манометра (двух различных выходах).

Задачи с использованием данных приборов часто касаются внесением в систему ряда различных несмешивающихся жидкостей, которые образуют покоящуюся систему с различными уровнями этих жидкостей.

Рис. 3. Манометр_Уровни жидкости

Разберём логику таких задач: пусть в манометр изначально была налита жидкость 1, плотностью $\displaystyle {{\rho }_{1}}$ , затем в правое и левое колена были налиты жидкости 2 и 3 с плотностями $\displaystyle {{\rho }_{2}}$ и $\displaystyle {{\rho }_{3}}$ соответственно (рис. 3). Пусть площади колен $\displaystyle S{}_{1}$ и $\displaystyle S{}_{2}$ соответственно.

Выберем уровень АB так, чтобы с одной стороны от него (снизу) в коленах была одна и та же жидкость (жидкость 1). Введём высоты жидкостей в коленах относительно выбранного уровня ( $\displaystyle {{h}_{1}}$ , $\displaystyle {{h}_{2}}$ и $\displaystyle {{h}_{3}}$ ) (рис.3).

Тогда, по закону сообщающихся сосудов, поверхности однородной жидкости устанавливаются на одном уровне (в нашем рассмотрении это уровень AB, однородная жидкость снизу). С другой стороны, если жидкости находятся в равновесии, то, исходя из второго закона Ньютона, сумма сил, действующих на жидкость, равна 0. Таким образом, силы, действующие на жидкость 1 в правом колене и в левом, одинаковы:

$\displaystyle {{F}_{1}}+{{F}_{3}}={{F}_{2}}$ (1)

где
- $\displaystyle {{F}_{1}}$ — сила, действующая на слой AB со стороны жидкости 1,
- $\displaystyle {{F}_{2}}$ — сила, действующая на слой AB со стороны жидкости 2,
- $\displaystyle {{F}_{3}}$ — сила, действующая на слой AB со стороны жидкости 3.

По определению давления:

$\displaystyle P=\frac{F}{S}$ (2)

Тогда:

$\displaystyle {{P}_{1}}{{S}_{1}}+{{P}_{3}}{{S}_{1}}={{P}_{2}}{{S}_{2}}$ (3)

где
- $\displaystyle {{P}_{1}}$ — давление, оказываемое жидкостью 1 на слой AB,
- $\displaystyle {{P}_{2}}$ — давление, оказываемое жидкостью 2 на слой AB,
- $\displaystyle {{P}_{3}}$ — давление, оказываемое жидкостью 3 на слой AB.

Таким образом, можно сказать, что сумма произведений давлений и соответствующих площадей, действующих на уровень АВ в правом и левом коленах, равны. Вспоминаем значение гидростатического давления:

$\displaystyle P=\rho gh$ (4)

Подставим (4) в (3):

$\displaystyle {{\rho }_{1}}g{{h}_{1}}{{S}_{1}}+{{\rho }_{3}}g{{h}_{3}}{{S}_{1}}={{\rho }_{2}}g{{h}_{2}}{{S}_{2}}$ (5)

Сократим на $\displaystyle g$ :

$\displaystyle {{\rho }_{1}}{{h}_{1}}{{S}_{1}}+{{\rho }_{3}}{{h}_{3}}{{S}_{1}}={{\rho }_{2}}{{h}_{2}}{{S}_{2}}$ (6)

Модифицируем (6) для общего случая:

$\displaystyle {{S}_{1}}\sum\limits_{i}{{{\rho }_{i}}{{h}_{i}}}={{S}_{2}}\sum\limits_{j}{{{\rho }_{j}}{{h}_{j}}}$ (7)

где
- $\displaystyle \sum\limits_{i}{{{\rho }_{i}}{{h}_{i}}}$ — сумма произведений плотностей и высот несмешивающихся жидкостей в колене 1,
- $\displaystyle {{S}_{1}}$ — площадь колена 1,
- $\displaystyle \sum\limits_{j}{{{\rho }_{j}}{{h}_{j}}}$ — сумма произведений плотностей и высот несмешивающихся жидкостей в колене 2,
- $\displaystyle {{S}_{2}}$ — площадь колена 2.

Уравнение (7) можно использовать для любого количества несмешивающихся жидкостей, которые наслоили друг на друга в обоих коленах манометра. Основное условие — жидкость должна покоится.

Часто применяется случай одинаковых площадей колен, тогда (7) можно упростить:

$\displaystyle \sum\limits_{i}{{{\rho }_{i}}{{h}_{i}}}=\sum\limits_{j}{{{\rho }_{j}}{{h}_{j}}}$ (8)

В любом случае, вывод уравнений основан на логике покоящийся жидкости и гидростатическом давлении, т.е. на основании механических выкладок.

Вывод: задачи на сообщающиеся сосуды, в целом, одинаковы. Для покоящейся жидкости можно использовать соотношение (7), если площади колен разные, или соотношение (8), если трубки имеют один и тот же размер.

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ