Схема поиска общей (полной) электроёмкости цепи конденсаторов

Пусть дана цепь с набором электроёмкостей \displaystyle {{C}_{1}}-{{C}_{8}} (рис. 1).

Схема поиска полной электроёмкости

Рис. 1. Схема поиска полной электроёмкости

Проанализируем её: визуально выделяем участки цепи, на которых есть только последовательные или только параллельные соединения конденсаторов. Таких участков три, обозначим их \displaystyle {{C}_{01}},{{C}_{02}},{{C}_{03}} (рис. 2).

Схема поиска полной электроёмкости - 2

Рис. 2. Схема поиска полной электроёмкости — 2

Найдём значения \displaystyle {{C}_{01}},{{C}_{02}},{{C}_{03}}, исходя из параллельности соединения элементов цепи:

\displaystyle {{C}_{01}}={{C}_{1}}+{{C}_{2}} (1)

\displaystyle {{C}_{02}}={{C}_{4}}+{{C}_{5}} (2)

\displaystyle {{C}_{03}}={{C}_{6}}+{{C}_{7}}+{{C}_{8}} (3)

Введём обозначения и перерисуем схему (рис. 3).

Схема поиска полной электроёмкости - 3

Рис.3. Схема поиска полной электроёмкости — 3

В полученной схеме опять поищем явно параллельные или последовательные участки. Он один, введём для него обозначение — \displaystyle {{C}_{04}} (рис. 4).

Схема поиска полной электроёмкости - 4

Рис. 4. Схема поиска полной электроёмкости — 4

Найдём значения \displaystyle {{C}_{04}}, пользуясь тем, что элементы цепи соединены последовательно:

\displaystyle \frac{1}{{{C}_{04}}}=\frac{1}{{{C}_{01}}}+\frac{1}{{{C}_{3}}}+\frac{1}{{{C}_{02}}}\Rightarrow {{C}_{04}}=\frac{{{C}_{01}}{{C}_{3}}{{C}_{02}}}{{{C}_{01}}{{C}_{3}}+{{C}_{01}}{{C}_{02}}+{{C}_{3}}{{C}_{02}}} (4)

Опять же введём обозначения и перерисуем схему (рис. 5).

Схема поиска полной электроёмкости - 5

Рис. 5. Схема поиска полной электроёмкости — 5

И, наконец, последняя схема — классическая: чистое параллельное соединение, общая ёмкость которого:

\displaystyle {{C}_{o}}={{C}_{03}}+{{C}_{04}} (5)

Тогда, подставив (1), (2), (3), (4) в (5), получим ответ, только делать мы это не будем, т.к. это громоздко. Получим искомое выражение при условии равенства всех сопротивлений на рисунке 1. Пусть каждое из сопротивлений будет равно \displaystyle C. Тогда:

Из (1):

\displaystyle {{C}_{01}}=C+C=2C (6)

Из (2):

\displaystyle {{C}_{02}}=C+C=2C (7)

Из (3):

\displaystyle {{C}_{03}}=C+C+C=3C (8)

Тогда, при условии (6) и (7), уравнение (4) принимает вид:

\displaystyle {{C}_{04}}=\frac{2C*C*2C}{2C*C+2C*2C+C*2C}=\frac{4{{C}^{3}}}{2{{C}^{2}}+4{{C}^{2}}+2{{C}^{2}}}\displaystyle \frac{4{{C}^{3}}}{8{{C}^{2}}}=\frac{C}{2} (9)

Тогда, при условии (8) и (9), уравнение (5) примет вид:

\displaystyle {{C}_{0}}=3C+\frac{C}{2}=3,5C (10)

Таким образом, можно найти полную электроёмкость цепи любой сложности.

Вывод: представленную логику рассуждений можно применять на цепи любой сложности

Схема поиска общей (полной) электроёмкости цепи конденсаторов обновлено: Сентябрь 9, 2017 автором: Иван Иванович

Добавить комментарий