Один математический маятник совершил за некоторый промежуток

Задача. Один математический маятник совершил за некоторый промежуток времени \displaystyle {{N}_{1}}=12 колебаний, а другой – \displaystyle {{N}_{2}}=3 колебания. Определите длину \displaystyle {{l}_{2}} другого маятника, если известно, что разность длин маятников \displaystyle \Delta l=10 см.

Дано:

\displaystyle {{N}_{1}}=12
\displaystyle {{N}_{2}}=3
\displaystyle \Delta l=10 см

Найти:
\displaystyle {{l}_{2}} — ?

Решение

Думаем: в задаче описан математический маятник, тогда

\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} (1)

Период колебаний (\displaystyle T) можно оценить исходя из количества колебаний за некоторый промежуток времени:

\displaystyle T=\frac{t}{N} (2)

Решаем:получим универсальную форму, описывающую колебание в обоих состояниях маятника. Для этого подставим (2) в (1):

\displaystyle \frac{t}{N}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} (3)

Опишем первый и второй маятник через (3):

  • для первого маятника (его длина меньше длины второго):

\displaystyle \frac{t}{{{N}_{1}}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}-\Delta l}{g}} (4)

  • для второго маятника

\displaystyle \frac{t}{{{N}_{2}}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}} (5)

Для решения системы (4), (5) самое простое — это поделить (5) на (4):

\displaystyle \frac{\frac{t}{{{N}_{2}}}}{\frac{t}{{{N}_{1}}}}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}}}{2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}-\Delta l}{g}}}\Rightarrow \frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}=\sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}}*\sqrt{\frac{g}{{{l}_{2}}-\Delta l}} \displaystyle =\sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{{{l}_{2}}-\Delta l}} (6)

Осталось из (6) выразить искомую величину:

\displaystyle \frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}=\sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{{{l}_{2}}-\Delta l}}\Rightarrow {{\left( \frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{{{l}_{2}}-\Delta l}} \right)}^{2}} \displaystyle \Rightarrow \frac{N_{1}^{2}}{N_{2}^{2}}=\frac{{{l}_{2}}}{{{l}_{2}}-\Delta l}\displaystyle \Rightarrow N_{1}^{2}*({{l}_{2}}-\Delta l)=N_{2}^{2}*{{l}_{2}} \displaystyle \Rightarrow N_{1}^{2}{{l}_{2}}-N_{1}^{2}\Delta l=N_{2}^{2}{{l}_{2}} \displaystyle \Rightarrow N_{1}^{2}{{l}_{2}}-N_{2}^{2}{{l}_{2}}=N_{1}^{2}\Delta l \displaystyle \Rightarrow {{l}_{2}}(N_{1}^{2}-N_{2}^{2})=N_{1}^{2}\Delta l \displaystyle \Rightarrow {{l}_{2}}=\frac{N_{1}^{2}\Delta l}{N_{1}^{2}-N_{2}^{2}} (7)

Считаем: можно не переводить длину в единицы СИ.

\displaystyle {{l}_{2}}=\frac{{{12}^{2}}*10}{{{12}^{2}}-{{3}^{3}}}\approx 11 см

Ответ: \displaystyle {{l}_{2}}\approx 11 см.

Коментарии: проанализируем (4) и (5). Судя по нашему дано, количество колебаний уменьшилось. Значит отношение \displaystyle \frac{t}{N} увеличилось, отсюда следует, что при условии \displaystyle g=const, длина маятника тоже должна увеличится.

Ещё задачи на тему «Маятники«.