Задача В цилиндрический сосуд налиты равные массы воды и масла

Задача. В цилиндрический сосуд налиты равные массы воды и машинного масла. Найдите высоту каждого из столбов, если полное давление на дно $\displaystyle {{P}_{o}}=1,6$ кПа.

Дано:

$\displaystyle {{P}_{o}}=1,6$ кПа
$\displaystyle {{m}_{v}}={{m}_{m}}$

Найти:
$\displaystyle {{h}_{v}}$ — ?
$\displaystyle {{h}_{m}}$ — ?

Решение

Думаем: связать давление с высотой можно через описание гидростатического давления (1).

$\displaystyle P={{\rho }_{zh}}gh$ (1)

где
- $\displaystyle {{\rho }_{zh}}$ — плотность жидкости (в нашем случае воды или масла),
- $\displaystyle g$ — ускорение свободного падения (константа),
- $\displaystyle h$ — высота слоя жидкости, оказывающая давление.

Полное давление на дно сосуда складывается из давлений, оказываемых каждой из жидкостей, тогда:

$\displaystyle {{P}_{o}}={{P}_{v}}+{{P}_{m}}$ (2)

где
- $\displaystyle {{P}_{v}}$ и $\displaystyle {{P}_{m}}$ — давления, оказываемые водой и маслом соответственно.

Однако, надо рассмотреть ещё одно дано: равенство масс. Массы удобно рассматривать через определение:

$\displaystyle m=\rho V$ (3)

Объём жидкости можем вытащить из фразы «цилиндрический сосуд», зная объём цилиндра:

$\displaystyle V=Sh$ (4)

где
- $\displaystyle S$ — площадь цилиндра.

Решаем: распишем (1) для обеих жидкостей.

$\displaystyle {{P}_{v}}={{\rho }_{v}}g{{h}_{v}}$ (5)

$\displaystyle {{P}_{m}}={{\rho }_{m}}g{{h}_{m}}$ (6)

Свяжем (5) и (6) с (2):

$\displaystyle {{P}_{o}}={{\rho }_{v}}g{{h}_{v}}+{{\rho }_{m}}g{{h}_{m}}$ (7)

Мы получили одно уравнение (7), содержащее две неизвестные — высоту столба масла и воды. Второе уравнение проанализируем из равенства масс. Используя (3) и знание о равенстве масс запишем:

$\displaystyle {{m}_{v}}={{m}_{m}}\Rightarrow {{\rho }_{v}}{{V}_{v}}={{\rho }_{m}}{{V}_{m}}$ (8)

Подставим (4) в (8):

$\displaystyle {{\rho }_{v}}S{{h}_{v}}={{\rho }_{m}}S{{h}_{m}}\Rightarrow {{\rho }_{v}}{{h}_{v}}={{\rho }_{m}}{{h}_{m}}\Rightarrow {{h}_{v}}=\frac{{{\rho }_{m}}}{{{\rho }_{v}}}{{h}_{m}}$ (9)

Подставим (9) в (7) и выразим оставшуюся неизвестную:

$\displaystyle {{P}_{o}}={{\rho }_{v}}g\frac{{{\rho }_{m}}}{{{\rho }_{v}}}{{h}_{m}}+{{\rho }_{m}}g{{h}_{m}}={{\rho }_{m}}g{{h}_{m}}+{{\rho }_{m}}g{{h}_{m}}=2{{\rho }_{m}}g{{h}_{m}}$ $\displaystyle \Rightarrow {{h}_{m}}=\frac{{{P}_{o}}}{2{{\rho }_{m}}g}$ (10)

Вернём (10) в (9):

$\displaystyle {{h}_{v}}=\frac{{{\rho }_{m}}}{{{\rho }_{v}}}\frac{{{P}_{o}}}{2{{\rho }_{m}}g}=\frac{{{P}_{o}}}{2{{\rho }_{v}}g}$ (11)

Предоставленный способ решения задачи масштабен и более-менее универсален. Хотя данную задачу можно было решить проще и быстрее. Т.к. массы одинаковы, то давление, исходя из определения ( $\displaystyle P=\frac{F}{S}$ ), обе жидкости оказывают одинаковое (т.к. сила тяжести одинакова). Тогда:

$\displaystyle \frac{{{P}_{0}}}{2}={{\rho }_{m}}g{{h}_{m}}={{\rho }_{v}}g{{h}_{v}}$

Откуда можно получить (10) и (11) соответственно.

Считаем: для численного ответа осталось вспомнить необходимые константы ( $\displaystyle {{\rho }_{v}}=1000$ кг/м³, $\displaystyle {{\rho }_{m}}=900$ кг/м³, $\displaystyle g=10$ м/с²). Тогда:

$\displaystyle {{h}_{v}}=\frac{1,6*{{10}^{3}}}{2*1000*10}=0,08$ м

$\displaystyle {{h}_{m}}=\frac{1,6*{{10}^{3}}}{2*900*10}\approx 0,09$ м

Ответ: $\displaystyle {{h}_{v}}=0,08$ м, $\displaystyle {{h}_{m}}\approx 0,09$ м.

Ещё задачи по теме «Гидростатическое давление».

Поделиться ссылкой: