Определите площадь квадрата, собственная длина стороны которого

Задача. Определите площадь  квадрата, собственная длина стороны которого \displaystyle a=2,0 м. движущегося со скоростью, модуль которой \displaystyle \upsilon =0,90c, в направлении, параллельном одной из сторон.

Дано:

\displaystyle a=2,0 м
\displaystyle \upsilon =0,90c

Найти:
\displaystyle S — ?

Решение

Думаем: периметром многоугольника называется сумма всех его сторон. При движении тела с околосветовой скоростью наблюдаются релятивистское сокращение длины. Тогда две стороны, сонаправленные с направлением движения испытывают видимое изменение длины, описываемое соотношением:

\displaystyle l={{l}_{0}}\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}} (1)

Тогда периметр четырёхугольника станет равен:

\displaystyle S=l*{{l}_{0}} (2)

где \displaystyle {{l}_{0}} — изначальная длина стороны (или длина стороны перпендикулярная движению), \displaystyle l — длина стороны, сонаправленная со скоростью.

В данной задаче главное помнить, что релятивистским эффектам подвергаются только геометрические размеры тела, сонаправленные со скоростью.

Решаем: для решения достаточно подставить (1) в (2).

\displaystyle S=l_{0}^{2}\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}} (3)

где \displaystyle {{l}_{0}}=a.

Подставим условие по скорости из дано в (3):

\displaystyle S=l_{0}^{2}\sqrt{1-\frac{{{(0,90c)}^{2}}}{{{c}^{2}}}}=l_{0}^{2}\sqrt{1-{{(0,90)}^{2}}} (4)

Считаем: переведём длину в единицы СИ (\displaystyle {{l}_{0}}=a=2,0 м).

Тогда:

\displaystyle S={{2}^{2}}*\sqrt{1-{{(0,90)}^{2}}}\approx 1,74 м\displaystyle ^{2}

Ответ: \displaystyle S\approx 1,74 м\displaystyle ^{2}.

Ещё задачи на тему «Элементы релятивистской динамики»