На какой высоте от поверхности Земли сила тяготения

Задача. На какой высоте от поверхности Земли сила тяготения, действующая на тело, уменьшится в \displaystyle \kappa =4 раза? Радиус Земли \displaystyle {{R}_{z}} принять равным 6,4 ∙ 106 м.

Дано:

\displaystyle \kappa =4 раза
\displaystyle {{R}_{z}}=6,4*{{10}^{6}} м

Найти:
\displaystyle h — ?

Решение

Думаем: анализируем дано, в первую очередь \displaystyle \kappa . Сказано, что \displaystyle \kappa — отношение сил тяжести на различных расстояниях от поверхности Земли, т.е.:

\displaystyle \kappa =\frac{m{{g}_{0}}}{m{{g}_{h}}}=\frac{{{g}_{0}}}{{{g}_{h}}} (1)

Ускорение свободного падения можно найти через:

\displaystyle g=G\frac{M}{{{R}^{2}}} (2)

  • где
    • \displaystyle M — масса Земли,
    • \displaystyle G=6,67*{{10}^{-11}} Н*м\displaystyle ^{2}*кг\displaystyle ^{-2}
    • \displaystyle R — расстояние от центра Земли до тела, ускорение которого мы должны найти.

Решаем: для соотношения (2), в случае \displaystyle {{g}_{0}} (ускорение у поверхности Земли), \displaystyle R={{R}_{z}}. В случае \displaystyle {{g}_{h}} — \displaystyle R={{R}_{z}}+h. Запишем соотношение (2) для обоих случаев:

\displaystyle {{g}_{0}}=G\frac{M}{R_{z}^{2}} (3)

\displaystyle {{g}_{h}}=G\frac{M}{{{({{R}_{z}}+h)}^{2}}} (4)

Подставим (4) и (3) в (1):

\displaystyle \kappa =\frac{{{g}_{0}}}{{{g}_{h}}}=G\frac{M}{R_{z}^{2}}*\frac{1}{G}\frac{{{({{R}_{z}}+h)}^{2}}}{M}=\frac{{{({{R}_{z}}+h)}^{2}}}{R_{z}^{2}} \displaystyle ={{\left( \frac{{{R}_{z}}+h}{{{R}_{z}}} \right)}^{2}}\Rightarrow \sqrt{\kappa }=\frac{{{R}_{z}}+h}{{{R}_{z}}} \displaystyle \Rightarrow \sqrt{\kappa }=1+\frac{h}{{{R}_{z}}}\Rightarrow \sqrt{\kappa }-1=\frac{h}{{{R}_{z}}}\Rightarrow h={{R}_{z}}(\sqrt{\kappa }-1) (5)

Считаем:

\displaystyle h=6,4*{{10}^{6}}*(\sqrt{4}-1)=6,4*{{10}^{6}} м

Ответ: \displaystyle h=6,4*{{10}^{6}} м.

Ещё задачи на тему «Динамика. Силы».