Задача На какой высоте от поверхности Земли сила тяготения тело

Задача. На какой высоте от поверхности Земли сила тяготения, действующая на тело, уменьшится в $\displaystyle \kappa =4$ раза? Радиус Земли $\displaystyle {{R}_{z}}$ принять равным 6,4 ∙ 10⁶ м.

Дано:

$\displaystyle \kappa =4$ раза
$\displaystyle {{R}_{z}}=6,4*{{10}^{6}}$ м

Найти:
$\displaystyle h$ — ?

Решение

Думаем: анализируем дано, в первую очередь $\displaystyle \kappa$ . Сказано, что $\displaystyle \kappa$ — отношение сил тяжести на различных расстояниях от поверхности Земли, т.е.:

$\displaystyle \kappa =\frac{m{{g}_{0}}}{m{{g}_{h}}}=\frac{{{g}_{0}}}{{{g}_{h}}}$ (1)

Ускорение свободного падения можно найти через:

$\displaystyle g=G\frac{M}{{{R}^{2}}}$ (2)

где
- $\displaystyle M$ — масса Земли,
- $\displaystyle G=6,67*{{10}^{-11}}$ Н*м $\displaystyle ^{2}$ *кг $\displaystyle ^{-2}$
- $\displaystyle R$ — расстояние от центра Земли до тела, ускорение которого мы должны найти.

Решаем: для соотношения (2), в случае $\displaystyle {{g}_{0}}$ (ускорение у поверхности Земли), $\displaystyle R={{R}_{z}}$ . В случае $\displaystyle {{g}_{h}}$ — $\displaystyle R={{R}_{z}}+h$ . Запишем соотношение (2) для обоих случаев:

$\displaystyle {{g}_{0}}=G\frac{M}{R_{z}^{2}}$ (3)

$\displaystyle {{g}_{h}}=G\frac{M}{{{({{R}_{z}}+h)}^{2}}}$ (4)

Подставим (4) и (3) в (1):

$\displaystyle \kappa =\frac{{{g}_{0}}}{{{g}_{h}}}=G\frac{M}{R_{z}^{2}}*\frac{1}{G}\frac{{{({{R}_{z}}+h)}^{2}}}{M}=\frac{{{({{R}_{z}}+h)}^{2}}}{R_{z}^{2}}$ $\displaystyle ={{\left( \frac{{{R}_{z}}+h}{{{R}_{z}}} \right)}^{2}}\Rightarrow \sqrt{\kappa }=\frac{{{R}_{z}}+h}{{{R}_{z}}}$ $\displaystyle \Rightarrow \sqrt{\kappa }=1+\frac{h}{{{R}_{z}}}\Rightarrow \sqrt{\kappa }-1=\frac{h}{{{R}_{z}}}\Rightarrow h={{R}_{z}}(\sqrt{\kappa }-1)$ (5)

Считаем:

$\displaystyle h=6,4*{{10}^{6}}*(\sqrt{4}-1)=6,4*{{10}^{6}}$ м

Ответ: $\displaystyle h=6,4*{{10}^{6}}$ м.

Ещё задачи на тему «Динамика. Силы».

Поделиться ссылкой: