Второй закон Ньютона в импульсном виде

Для ряда задач второй закон Ньютона лучше использовать в несколько изменённом виде.

Итак, классический закон:

\displaystyle m\vec{a}=\sum{{{{\vec{F}}}_{i}}} (1)

  • где
    • \displaystyle {{\sum{{\vec{F}}}}_{i}} — сумма сил, действующих на тело
    • \displaystyle m — масса тела
    • \displaystyle \vec{a} — ускорение тела.

Сумма всех сил, действующих на тело, равняется произведению массы на ускорение тела. Для простоты, пусть на тело действует только одна сила.

Воспользуемся определением ускорения:

\displaystyle \vec{a}=\frac{\Delta \vec{\upsilon }}{\Delta t} (2)

  • где
    • \displaystyle \Delta \vec{\upsilon } — изменение скорости
    • \displaystyle \Delta t — время движения.

Подставим (2) в (1):

\displaystyle m\frac{\Delta \vec{\upsilon }}{\Delta t}=\vec{F} (3)

  • где
    • \displaystyle \vec{F} — искомая одиночная сила

Любое изменение скорости можно расписать в виде:

\displaystyle \Delta \vec{\upsilon }=\vec{\upsilon }-{{\vec{\upsilon }}_{0}} (4)

  • где
    • \displaystyle \vec{\upsilon } — конечная скорость движения
    • \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}} — начальная скорость движения

Тогда:

\displaystyle m\frac{\vec{\upsilon }-{{{\vec{\upsilon }}}_{0}}}{\Delta t}=\vec{F} (5)

Преобразуем:

\displaystyle \vec{F}=\frac{m\vec{\upsilon }-m{{{\vec{\upsilon }}}_{0}}}{\Delta t}=\frac{\vec{p}-{{{\vec{p}}}_{0}}}{\Delta t}=\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} (6)

  • где
    • \displaystyle \vec{p}=m\vec{\upsilon } — конечный импульс тела
    • \displaystyle {{\vec{p}}_{0}}=m{{\vec{\upsilon }}_{0}} — начальный импульс тела

Тогда:

\displaystyle \Delta \vec{p}=\vec{F}\Delta t (7)

  • где
    • \displaystyle \Delta \vec{p} — изменение импульса
    • \displaystyle \vec{F} — действующая сила
    • \displaystyle \Delta t — время действия силы

Соотношение (7) называется вторым законом Ньютона в импульсном виде.

Вывод: второй закон Ньютона используется в ряде уникальных задач, где есть явный намёк на время действия силы.

Добавить комментарий