Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов прямой (\displaystyle {{90}^{{}^\circ }}).

Для нахождения параметров прямоугольного треугольника можно пользоваться тем, что он остаётся треугольником. Т.е. все формульные зависимости, характеризующие произвольный треугольник, применимы и для прямоугольного, однако то, что наш объект именно прямоугольный треугольник, даёт несколько новых возможностей для расчёта (рис. 1).

У такого треугольника вводятся собственные обозначения: так стороны, содержащие (примыкающие) к прямому углу, называются катетами (\displaystyle a и \displaystyle b), а сторона, находящаяся против угла в \displaystyle {{90}^{{}^\circ }}, называется гипотенузой (\displaystyle c). Наиболее часто используемым соотношением для прямоугольного треугольника является теорема Пифагора, связывающая катеты треугольника с гипотенузой.

Кроме того, в данном треугольнике можно по-другому найти высоты, биссектрисы и медианы.

  • биссектриса через катеты

\displaystyle f=\sqrt{2}\frac{ab}{a+b} (1)

  • биссектриса через гипотенузу и один из углов

\displaystyle f=\frac{2c}{\sqrt{2}}\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\sin \alpha +\cos \beta } (2)

  • биссектриса через катет и один из углов

\displaystyle f=\frac{a}{\cos (\beta /2)} (3)

  • биссектриса через катет и гипотенузу

\displaystyle f=a\sqrt{\frac{2c}{a+c}} (4)

  • медиана через гипотенузу

\displaystyle m=\frac{c}{2} (5)

  • медиана через катеты (следствие т. Пифагора)

\displaystyle m=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} (6)

  • медиана через катет и один из углов

\displaystyle m=\frac{a}{2\sin \alpha }=\frac{b}{2\sin \beta } (7)

  • высота через катеты

\displaystyle h=\frac{ab}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} (8)

  • высота через гипотенузу и углы

\displaystyle h=c\sin \alpha \cos \alpha =c\sin \beta \cos \beta (9)

  • высота через катет и угол

\displaystyle h=b\sin \alpha =a\sin \beta (10)

Прямоугольный треугольник (тригонометрия)

Рис. 2. Прямоугольный треугольник (тригонометрия)

Кроме того, на основании прямоугольного треугольника вводятся понятия ряда тригонометрических функций (рис. 2)

  • Синусом угла альфа (\displaystyle \sin \alpha ) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\displaystyle \sin \alpha =\frac{a}{c} (11)

  • Косинусом угла альфа (\displaystyle \cos \alpha ) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\displaystyle \cos \alpha =\frac{b}{c} (12)

  • Тангенсом угла альфа (\displaystyle tg \alpha ) называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

\displaystyle tg \alpha =\frac{a}{b} (13)

  • Котангенсом угла альфа (\displaystyle ctg \alpha ) называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

\displaystyle ctg \alpha =\frac{b}{a} (14)

Добавить комментарий