Небольшой шарик, заряд которого и масса

Задача. Небольшой шарик, заряд которого \displaystyle {{q}_{1}}=50 нКл и масса \displaystyle m=40 мг, подвешен в воздухе на шёлковой нити. После того как на вертикали, проходящей через центр шарика, на расстоянии \displaystyle r=30 см ниже его поместили другой маленький шарик, заряженный разноимённо, модуль силы упругости нити увеличился в три раза. Определите заряд второго шарика.

Дано:

\displaystyle {{q}_{1}}=50 нКл
\displaystyle m=40 мг
\displaystyle r=30 см
\displaystyle {}^{{{T}_{2}}}\!\!\diagup\!\!{}_{{{T}_{1}}}\;=3

Найти:
\displaystyle {{q}_{2}} — ?

Решение

Думаем: фраза «шёлковая нить» говорит о том, что заряд с шарика уйти не может. Сам заряд можно обнаружить в силе Кулона.

\displaystyle F=k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}^{2}}} (1)

  • где
    • \displaystyle {{q}_{1}}\displaystyle {{q}_{2}} — взаимодействующие заряды,
    • \displaystyle r — расстояние между центрами взаимодействующих зарядов
    • \displaystyle k\approx 9*{{10}^{9}}  Н*м\displaystyle ^{2}/Кл\displaystyle ^{2} — постоянная, характерная для взаимодействия зарядов в вакууме/воздухе.

Саму силу Кулона можно найти исходя из второго закона Ньютона:

\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}=m\vec{a} (2)

Соотношение (2) рассмотрим исходя из соответствующего плана. По задаче у нас две системы, связь между которыми находится в фразе «модуль силы упругости нити увеличился в три раза», что приводит к соотношению из дано.

\displaystyle {}^{{{T}_{2}}}\!\!\diagup\!\!{}_{{{T}_{1}}}\;=3 (3)

Решение: по сути соотношение (1) является основным для поиска искомого заряда, т.к. все параметры  нам заданы в дано (кроме собственно силы). Значение самой силы проанализируем исходя из плана. Для этого сделаем рисунок и расставим все силы, действующие на тело \displaystyle {{q}_{1}}. Мы выбрали именно его, т.к. добавочное дано в нашей задаче — это соотношение сил натяжения нити, действующей именно на это тело (рис. 1).

Рис. 1. Силы, действующие на тело

Рис. 1. Силы, действующие на тело

Как мы видим, на тело действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила взаимодействия двух зарядов. Т.к. тело покоится, то ускорение тела равно нулю (\displaystyle a=0), тогда в соотношении (2) сумма сил, действующих на тело также равно нулю. При этих условиях спроецируем (2) на введённую ось OY:

\displaystyle mg+F-{{T}_{2}}=0 (4)

Неизвестная сила натяжения нити \displaystyle {{T}_{2}} связана соотношением (3) с силой натяжения нити в случае, если второго заряда нет. Рассмотрим первую систему исходя из плана (рис. 2).

Рис. 2. Силы, действующие на тело в отсутствие заряда

Рис. 2. Силы, действующие на тело в отсутствие заряда

В данной системе шарик тоже покоится, тогда все рассуждения, приведённые выше подходят и в текущем случае. Тогда опять запишем второй закон Ньютона в проекции на ось:

\displaystyle mg-{{T}_{1}}=0 (5)

Осталось подставить уравнения и найти искомое. Для начала подставим (1) в (4):

\displaystyle mg+k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}-{{T}_{2}}=0 (6)

Неизвестную силу \displaystyle {{T}_{2}} выразим из (3) с учётом значения \displaystyle {{T}_{1}} из (5):

\displaystyle {{T}_{2}}=3{{T}_{1}}=3mg (7)

Подставим (7) в (6):

\displaystyle mg+k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}-3mg=0\Rightarrow k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}=2mg \displaystyle \Rightarrow k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}=2mg\Rightarrow {{q}_{2}}=\frac{2mg{{r}^{2}}}{k{{q}_{1}}} (8)

Считаем: осталось вспомнить значение ускорения свободного падения (\displaystyle g=10 м/с\displaystyle ^{2}).

\displaystyle {{q}_{2}}=\frac{2*40*{{10}^{-3}}*10*{{(0,3)}^{2}}}{9*{{10}^{9}}*50*{{10}^{-9}}}=0,16*{{10}^{-3}} Кл

Ответ\displaystyle {{q}_{2}}=0,16*{{10}^{-3}} Кл.

Ещё задачи на тему «Заряд. Закон Кулона»

Небольшой шарик, заряд которого и масса обновлено: Март 4, 2018 автором: Иван Иванович