Запишите кинематический закон движения

Задача. Запишите кинематический закон движения \displaystyle x(t) материальной точки, если за промежуток времени \displaystyle t1=1,0 мин она совершает \displaystyle N=120 колебаний с амплитудой \displaystyle A=10 см. В момент времени \displaystyle {{t}_{0}}=0 точка двигалась в направлении оси  и её координата \displaystyle x(0)=5,0 см.

Дано:

\displaystyle t1=1,0 мин
\displaystyle N=120
\displaystyle A=10 см
\displaystyle x(0)=5,0 см

Найти:
\displaystyle x(t) — ?

Решение

Думаем: мы имеем дело с гармоническими колебаниями (других мы не знаем). Тогда:

\displaystyle x(t)=A\sin (\omega t+{{\varphi }_{0}}) (1)

или

\displaystyle x(t)=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}}) (2)

Чтобы выяснить какое именно уравнение нам использовать, проанализируем фразу «точка двигалась в направлении оси». Это значит что при увеличении времени, увеличивалась и его координата. Тогда мы должны выбрать соотношение (2), т.к. при росте времени растёт значение косинуса (а не синуса).

Циклическую частоту найдём из:

\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T} (3)

Период по определению (время одного полного колебания) может быть найден:

\displaystyle T=\frac{t1}{N} (4)

Начальную фазу колебания найдём из (2) при условии знания начальной координаты \displaystyle x(0) и начального момента времени \displaystyle {{t}_{0}}=0:

\displaystyle x(0)=A\cos ({{\varphi }_{0}}) (5)

Решаем: получим все параметры, необходимые для (2)

  • для начальной фазы из (5):

\displaystyle {{\varphi }_{0}}=\arccos \frac{x(0)}{A} (6)

  • для циклической частоты (4) при условии (5):

\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{{}^{t1}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\;}=\frac{2\pi N}{t1} (7)

Подставим (6) и (7) в (2):

\displaystyle x(t)=A\cos (\frac{2\pi N}{{{t}_{1}}}t+\arccos \frac{x(0)}{A}) (8)

Считаем: переведём амплитуду и начальную координату в единицы СИ (\displaystyle A=10 см \displaystyle =0,1 м, \displaystyle x(0)=5,0 см \displaystyle =0,050 м). Также нам необходимо узнать время в единицах СИ (\displaystyle {{t}_{1}}=1,0 мин \displaystyle =60 с).

\displaystyle x(t)=0,1\cos (\frac{2*\pi *120}{60}t+\arccos \frac{0,050}{0,1}) \displaystyle =0,1\cos (4\pi t+\frac{\pi }{3})

Ответ\displaystyle x(t)=0,1\cos (4\pi t+\frac{\pi }{3}).

Ещё задачи на тему «Уравнение гармонических колебаний».

Запишите кинематический закон движения обновлено: Ноябрь 6, 2017 автором: Иван Иванович