Задача. Спортсмен на тренировке пробежал N кругов радиусом R

Задача. Спортсмен на тренировке пробежал $\displaystyle N=10,25$ кругов радиусом $\displaystyle R=35$ м каждый. Какой путь пробежал спортсмен? Чему равен модуль его перемещения?

Дано:

$\displaystyle N=10,25$

$\displaystyle R=35$ м

Найти:

$\displaystyle S$ -?

$\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|$ -?

Решение

Рис. 1. Траектория движения тела

Думаем: в рамках нашего дано не указаны переменные, которые обозначают то, что нам нужно найти. Давайте введём эти обозначения: пусть $\displaystyle S$ — путь, проделанный телом, $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|$ — модуль перемещения тела. Собственно, вопрос задачи относится к траектории движения. Такого типа задачи лучше всего начинать с рисунка (рис. 1).

Решаем: траектория движения тела — окружность. Обратимся к первому вопросу задачи: по определению, путь — скалярная физическая величина, численно равная длине траектории, т.е. для нахождения пути необходимо найти расстояние, пройденное телом за интересующее время движения. Исходя из условий задачи, тело прошло путь, равный заданному количеству длин окружностей ( $\displaystyle l=2\pi R$ ), т.е.:

$\displaystyle S=2\pi RN$ (1)

В правой части уравнения известны все параметры, значит, мы можем найти искомое значение (пока не ищем).

Рис. 2. Перемещение

Перейдём ко второму вопросу: чему равен модуль перемещения $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|$ тела? По определению: перемещение — векторная физическая величина — вектор, соединяющий начальную и конечную точку движения. Т.е. для нахождения перемещения необходимо найти модуль вектора перемещения (длину этого вектора) и направление данного вектора. Пометим его на рисунке (рис. 2). Исходя из условий задачи, спортсмен пробежал 10 полных кругов и 0,25 части окружности. Пусть старт произошёл в точке А (выбираем по собственному желанию, ибо в задаче это не конкретизировано), тогда после 10 кругов спортсмен оказался в этой же точке, а после 0,25 круга (четверть окружности) в точке В. Теперь мы видим нашу задачу — найти длину $\displaystyle \Delta \vec{r}$ , по рисунку он является частью прямоугольного треугольника с катетами $\displaystyle R$ и $\displaystyle R$ , и искомой гипотенузой $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|$ . Основным способом поиска сторон прямоугольного треугольника является теорема Пифагора. Для нашей задачи: