Первую половину пути автомобиль двигался равномерно со скоростью, модуль которой, а вторую половину — со скоростью в n раз меньшей

Задача. Первую половину пути автомобиль двигался равномерно со скоростью, модуль которой \displaystyle {{\upsilon }_{1}}=72 км/ч, а вторую половину — со скоростью, в \displaystyle n=2 раз меньшей. Найти среднюю скоростью движения автомобиля на всём пути.

Дано:

\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=72 км/ч
\displaystyle n=2

Найти:
\displaystyle <\upsilon > — ?

Решение

Задача 9

Рис. 1. Движение

Думаем: вопрос задачи связан с определением средней скорости движения. Движение состоит из нескольких участков, поэтому визуализируем движение (рис. 1). Пусть автомобиль начинает двигаться из точки А, далее в точке B происходит смена скорости, и тело приезжает в точку С. Занесём на рисунок все переменные из дано и найти.

В тексте мы встречаем неявное дано (т.е. слова, указывающие на какие-либо особенности движения). В нашем случае, это слова «первую/вторую половину пути». Это значит, что движение разделено на два участка по равенству расстояния (на нашем рисунке это дано записано как \displaystyle {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; для каждого из участков). Таким образом, мы незаметно ввели \displaystyle S — как параметр, описывающий всё расстояние.

Решаем: исходя из определения средней путевой скорости, её можно найти как отношение всего пути, проделанного телом (\displaystyle S), ко всему времени движения (\displaystyle t):

\displaystyle <\upsilon >=\frac{S}{t} (1)

В правой части уравнения всё неизвестно. Искать неизвестные в таком случае лучше используя фразу «ищем то, про что не знаем больше». В нашем случае мы хоть что-то знаем про путь (он делится пополам), значит, начнём со времени. Движение тела в задаче условно разделено на два движения с одинаковой по модулю скоростью в рамках этого движения:

\displaystyle t={{t}_{1}}+{{t}_{2}} (2)

где, \displaystyle {{t}_{1}} и \displaystyle {{t}_{2}} — время движения на первом и втором участках пути соответственно. В (2) справа неизвестны оба слагаемых, однако из рисунка они непосредственно связаны с дано (каждый со своей скоростью). В дано у нас есть скорость равномерного движения. Свяжем скорость и путь при данном движении и выделим оттуда время:

\displaystyle \upsilon =\frac{{{S}_{o}}}{t} \displaystyle \Rightarrow \displaystyle t=\frac{{{S}_{o}}}{\upsilon } (3)

Адаптируем (3) к нашим неизвестным в (2) с учётом того, что \displaystyle {{S}_{o}}=\frac{S}{2}:

\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{{}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{S}{2{{\upsilon }_{1}}} (4)

\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{{}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{{{\upsilon }_{2}}}=\frac{S}{2{{\upsilon }_{2}}} (5)

В целом, в (4) и (5) мы не знаем значение полного пути, однако мы оставили его в (1) без рассмотрения, оставим и здесь. Подставим (4) и (5) в (2) и немного преобразуем:

\displaystyle t=\frac{S}{2{{\upsilon }_{1}}}+\frac{S}{2{{\upsilon }_{2}}}\displaystyle \frac{S{{\upsilon }_{2}}}{2{{\upsilon }_{1}}{{\upsilon }_{2}}}+\frac{S{{\upsilon }_{1}}}{2{{\upsilon }_{2}}{{\upsilon }_{1}}} = \displaystyle \frac{S({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})}{2{{\upsilon }_{1}}{{\upsilon }_{2}}} (6)

Получившееся соотношение подставим в (1):

\displaystyle <\upsilon >=\frac{S}{\frac{S({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})}{2{{\upsilon }_{1}}{{\upsilon }_{2}}}}\displaystyle <\upsilon >=\frac{S*2{{\upsilon }_{1}}{{\upsilon }_{2}}}{S({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})}=\frac{2{{\upsilon }_{1}}{{\upsilon }_{2}}}{({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})} (7)

Единственное неизвестное, что осталось узнать, это \displaystyle {{\upsilon }_{2}}, но у нас есть ещё одно неиспользованное дано, а именно \displaystyle n. По задаче скорость на втором участке в \displaystyle n раз меньше, чем на первом, тогда:

\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{1}}}{n} (8)

Тогда (7), с учётом (8):

\displaystyle <\upsilon >=\frac{2{{\upsilon }_{1}}\frac{{{\upsilon }_{1}}}{n}}{({{\upsilon }_{1}}+\frac{{{\upsilon }_{1}}}{n})}\displaystyle \frac{2\upsilon _{1}^{2}n}{n({{\upsilon }_{1}}n+{{\upsilon }_{1}})}\displaystyle \frac{2\upsilon _{1}^{2}}{{{\upsilon }_{1}}(n+1)}=\frac{2{{\upsilon }_{1}}}{(n+1)} (9)

Теперь мы точно знаем всё.

Считаем:

\displaystyle <\upsilon >=\frac{2*72}{(2+1)}=48 км/ч

Ответ\displaystyle <\upsilon >=48 км/ч

Ещё задачи по теме «Средняя скорость»

Первую половину пути автомобиль двигался равномерно со скоростью, модуль которой, а вторую половину — со скоростью в n раз меньшей обновлено: Сентябрь 9, 2017 автором: Иван Иванович

Добавить комментарий