Гелий, взятый в количестве моль, изобарно расширяется

Задача. Гелий, взятый в количестве \displaystyle v=2,50 моль, изобарно расширяется. При этом сила давления газа совершает работу \displaystyle A=9,80 кДж. Определите начальную температуру гелия, если его масса не меняется, а концентрация молекул в конечном состоянии в два раза меньше, чем в начальном.

Дано:

\displaystyle v=2,50 моль
\displaystyle A=9,80 кДж

Найти:
\displaystyle {{T}_{1}} — ?

Решение

Думаем: температуру, которую необходимо найти, можно связать с заданным химическим количеством через уравнение Менделеева-Клапейрона:

\displaystyle PV=\nu RT (1)

Неизвестные параметры давления и объёма присутствуют в определении работы, совершённой газом (для чего она нам и дана):

\displaystyle A=P\Delta V (2)

И последнее, нам приведены рассуждения по концентрациям, поэтому введём и это определение:

\displaystyle C=\frac{N}{V} (3)

где \displaystyle C — концентрация газа, \displaystyle N — количество молекул газа, \displaystyle V — объём газа.

Решаем: для описания перехода газа из одного состояния в другое удобно использовать метод банок. Для этого нарисуем баллоны и запишем в них все параметры газа, которые необходимы для соотношения (1). Формой сосуда (изменение объёма) можно пренебречь, поэтому визуализируем сосуд с газом в первом и втором состоянии одинаковой банкой (рис. 1).

Рис. 1. Параметры системы

Рис. 1. Параметры системы

Банка 1 — начальное состояние системы. Газ находится при начальном давлении (\displaystyle {{P}}), начальной температуре (\displaystyle {{T}_{1}}) и начальном объёме (\displaystyle {{V}_{1}}). При этом химическое количество вещества (\displaystyle \nu ), которое в описанных в задаче процессах не изменяется.

Реализуем (1) в этом случае:

\displaystyle {{P}}{{V}_{1}}=\nu R{{T}_{1}} (4)

Банка 2 — следующее состояние системы. Объём газа при этом \displaystyle {{V}_{2}}, давление при условии изобарности, заданной в задаче — \displaystyle {{P}},  температура новая — \displaystyle {{T}_{2}} и изначальное химическое количество (\displaystyle \nu ). Реализуем (1) в этом случае:

\displaystyle {{P}}{{V}_{2}}=\nu R{{T}_{2}} (5)

В соотношении (4) присутствует искомая температура, но параметры давления и объёма в этом уравнении неизвестны. Разберёмся с объёмом. По задаче нам сказано, что концентрация газа в начальном и конечном состоянии различается в два раза. Кроме того, масса газа не изменяется, что говорит о том, что и количество молекул газа остаётся постоянным. Исходя из (3) опишем эти рассуждения:

\displaystyle C=\frac{N}{{{V}_{1}}} (6)

\displaystyle \frac{C}{2}=\frac{N}{{{V}_{2}}} (7)

Поделим (6) на (7):

\displaystyle \frac{C}{{}^{C}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}=\frac{{}^{N}\!\!\diagup\!\!{}_{{{V}_{1}}}\;}{{}^{N}\!\!\diagup\!\!{}_{{{V}_{2}}}\;}\Rightarrow 2=\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}\Rightarrow {{V}_{2}}=2{{V}_{1}} (8)

С использованием (8), работа газа, описанная в (2) может быть записана в виде:

\displaystyle A=P({{V}_{2}}-{{V}_{1}})=P{{V}_{2}}-P{{V}_{1}} \displaystyle A=P(2{{V}_{1}}-{{V}_{1}})=P{{V}_{1}} (9)

Тогда, подставим (4) в (9) и выразим необходимую температуру:

\displaystyle A=\nu R{{T}_{1}}\Rightarrow {{T}_{1}}=\frac{A}{\nu R} (10)

Считаем: помним о значении универсальной газовой постоянной \displaystyle R\approx 8,31 м\displaystyle ^{2}*кг*с\displaystyle ^{-2}\displaystyle ^{-1}*Моль\displaystyle ^{-1}.

\displaystyle {{T}_{1}}=\frac{9,80*{{10}^{3}}}{2,50*8,31}\approx 472 К

Ответ\displaystyle {{T}_{1}}\approx 472 К.

Ещё задачи на тему «Работа и внутренняя энергия идеального газа«.

Гелий, взятый в количестве моль, изобарно расширяется обновлено: Ноябрь 6, 2017 автором: Иван Иванович