При изобарном увеличении температуры идеального газа

Задача. При изобарном увеличении температуры идеального газа, находящегося в герметично закрытом цилиндре, на \displaystyle \Delta T=60,0 К его объём увеличился в \displaystyle \beta =1,5 раза. Определите начальную температуру газа.

Дано:

\displaystyle \Delta T=60,0 К \displaystyle \beta =1,5 раза

Найти:
\displaystyle {{T}_{0}} — ?

Решение

Думаем: слово «изобарном» — говорит о том, что давление в цилиндре в ходе всей задачи остаётся неизменным. Фраза «газ, находящийся в герметично закрытом цилиндре» говорит о неизменности химического количества вещества (\displaystyle \nu =const). Кроме того, мы можем описать объём конечного газа как \displaystyle \beta V. Для решения таких задач я предлагаю метод банок. Основа этого метода — повторяемое использования уравнения Менделеева-Клапейрона для различных состояний идеального газа:

\displaystyle PV=\nu RT (1)

Решаем: нарисуем баллоны и запишем в них все параметры газа, которые необходимы для соотношения (1). Формой сосуда (изменение объёма) можно пренебречь, поэтому визуализируем сосуд с газом в первом и втором состоянии одинаковой банкой (рис. 1).

Рис. 1. Состояния газа в задаче

Рис. 1. Состояния газа в задаче

Банка 1 — начальное состояние системы. Введём давление газа (\displaystyle P), первоначальный объём (\displaystyle V), первоначальную температуру (\displaystyle T) и неизменное химическое количество газа (\displaystyle \nu ). Запишем соотношение (1) для этой системы:

\displaystyle PV=\nu RT (2)

Банка 2 — конечное состояние системы. Давление газа осталось неизменным (\displaystyle P), по задаче объём газа увеличился до \displaystyle \beta V, а температура увеличилась на \displaystyle \Delta T (до \displaystyle T+\Delta T). Химическое количество мы обсудили, оно остаётся неизменным. Запишем соотношение (1) для этой системы:

\displaystyle P\beta V=\nu R(T+\Delta T) (3)

Решаем: основная фишка таких задач — получение набора практически идентичных соотношений. Математически мы можем объединить уравнения (2) и (3) в систему уравнений. Одно из возможных решений системы, где уравнения похожи — это деление одного уравнения на второе. Попробуем так и сделать, поделим (3) на (2):

\displaystyle \frac{P\beta V}{PV}=\frac{\nu R(T+\Delta T)}{\nu RT}\Rightarrow \beta =\frac{T+\Delta T}{T} (4)

В получившемся соотношении (4) нам просто нужно выразить температуру (\displaystyle T):

\displaystyle \beta =\frac{T+\Delta T}{T}\Rightarrow \beta T=T+\Delta T\Rightarrow \beta T-T=\Delta T\displaystyle \Rightarrow T(\beta -1)=\Delta T\Rightarrow T=\frac{\Delta T}{(\beta -1)} (5)

Считаем: всё, что нам нужно в (5) уже представлено в единицах СИ, осталось посчитать.

\displaystyle T=\frac{60,0}{(1,5-1)}=120,0 К

Ответ\displaystyle T=120,0 К.

Ещё задачи на тему «Идеальный газ. Процессы«.

При изобарном увеличении температуры идеального газа обновлено: Ноябрь 6, 2017 автором: Иван Иванович