Два противоположных по знаку точечных заряда

Задача. Два противоположных по знаку точечных заряда, модули которых равны, находятся в воздухе. В точке на прямой, соединяющей заряды, отстоящей на расстояния \displaystyle {{r}_{1}}=40,0 мм и \displaystyle {{r}_{2}}=20,0 мм от зарядов, потенциал электростатического поля \displaystyle \varphi =105,0 мВ. Определите модуль напряжённости поля в этой точке.

Дано:

\displaystyle {{r}_{1}}=40,0 мм
\displaystyle {{r}_{2}}=20,0 мм
\displaystyle \varphi =105,0 мВ

Найти:
\displaystyle E — ?

Решение

Думаем: источником электростатического поля в задаче являются точечные заряды, тогда:

\displaystyle E=k\frac{q}{{{r}^{2}}} (1)

\displaystyle \varphi =k\frac{q}{r} (2)

Т.к. зарядов несколько,, то для поиска общих параметров системы будем использовать принцип суперпозиции:

  • для вектора напряжённости (вектор полной напряжённости равен векторной сумме напряжённостей, создаваемых каждым из зарядов):

\displaystyle {{\vec{E}}_{0}}=\sum\limits_{i}{{{{\vec{E}}}_{i}}} (3)

  • для потенциала (полный потенциал, создаваемый в точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в этой точке):

\displaystyle {{\varphi }_{0}}=\sum\limits_{i}{\varphi {}_{i}} (4)

Решаем: для (1) и (2) нам необходимо визуализировать систему (рис. 1).

Рис. 1. Система зарядов

Рис. 1. Система зарядов

Для поиска полной напряжённости, создаваемой системой зарядов нам нужно визуализировать напряжённости, создаваемые каждым из зарядов, воспользоваться (3) и спроецировать результат на выбранную ось (рис. 2). Помним, что от положительного заряда линии напряжённости «уходят», к отрицательному «приходят».

Рис. 2. Напряжённости от каждого из зарядов

Рис. 2. Напряжённости от каждого из зарядов

где \displaystyle {{E}_{+}};\,{{E}_{-}} — напряжённости, создаваемые положительным и отрицательным зарядами соответственно. Спроецируем вектора на выбранную ось OX:

\displaystyle E={{E}_{+}}+\,{{E}_{-}} (5)

Недостающие напряжённости можно найти исходя из (1):

\displaystyle {{E}_{-}}=k\frac{\left| -q \right|}{r_{1}^{2}}=k\frac{q}{r_{1}^{2}} (6)

\displaystyle {{E}_{+}}=k\frac{\left| q \right|}{r_{2}^{2}}=k\frac{q}{r_{2}^{2}} (7)

Подставим (6) и (7) в (5):

\displaystyle E=k\frac{q}{r_{2}^{2}}+k\frac{q}{r_{1}^{2}}=kq(\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{1}{r_{1}^{2}}) (8)

Неизвестные значения зарядов можно получить исходя из последнего неиспользованного дано — общего потенциала (\displaystyle \varphi ). Для поиск общего потенциала в точке воспользуемся (4):

\displaystyle \varphi ={{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} (9)

где \displaystyle {{\varphi }_{1}} и \displaystyle {{\varphi }_{2}} — потенциалы, создаваемые обоими зарядами  в искомой точке. Найдём значение этих потенциалов исходя из (2):

\displaystyle {{\varphi }_{1}}=k\frac{-q}{{{r}_{1}}} (10)

\displaystyle {{\varphi }_{2}}=k\frac{q}{{{r}_{2}}} (11)

Подставим (10) И (11) в (9):

\displaystyle \varphi =-k\frac{q}{{{r}_{1}}}+k\frac{q}{{{r}_{2}}}=kq(\frac{1}{{{r}_{2}}}-\frac{1}{{{r}_{1}}}) (12)

Выразим недостающее из (12):

\displaystyle \varphi =kq(\frac{1}{{{r}_{2}}}-\frac{1}{{{r}_{1}}})\Rightarrow \varphi =kq\frac{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}{{{r}_{2}}{{r}_{1}}} \displaystyle \Rightarrow \varphi =kq\frac{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}{{{r}_{2}}{{r}_{1}}}\Rightarrow kq=\frac{\varphi {{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}} (13)

Подставим (13) в (8):

\displaystyle E=\frac{\varphi {{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}(\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{1}{r_{1}^{2}})=\varphi \frac{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}(\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{r_{2}^{2}r_{1}^{2}}) \displaystyle \Rightarrow E=\varphi \frac{1}{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}(\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{{{r}_{1}}{{r}_{2}}})=\varphi \frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{({{r}_{1}}-{{r}_{2}}){{r}_{1}}{{r}_{2}}} (14)

Считаем: не забываем перевести всё параметры в единицы СИ.

\displaystyle E=105,0*{{10}^{-3}}*\frac{{{0,02}^{2}}+{{0,04}^{2}}}{(0,04-0,02)*0,04*0,02}=13,1 Н/м.

Ответ\displaystyle E=13,1 Н/м.

Ещё задачи на тему «Потенциал электростатического поля»