Гелий, количества вещества которого моль, находящийся при температуре

Задача. Гелий, количества вещества которого \displaystyle v=3,0 моль, находящийся при температуре \displaystyle T=320 К, сначала изобарно нагревают, а затем изохорно переводят в состояние с температурой, равной начальной. Определите, во сколько раз увеличился объём гелия, если алгебраическая сумма количества полученной и отданной теплоты \displaystyle Q=4,6 кДж.

Дано:

\displaystyle v=3,0 моль
\displaystyle T=320 К
\displaystyle Q=4,6 кДж

Найти:
\displaystyle n — ?

Решение

Думаем: вопрос задачи определим как

\displaystyle n=\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}} (1)

где \displaystyle {{V}_{1}} — объём газа в начальном состоянии, \displaystyle {{V}_{2}} 0 объём газа при конечном состоянии. Вопрос о получении объёмов газа сводится к методу банок и анализу уравнения Менделеева-Клапейрона:

\displaystyle PV=\nu RT (2)

Анализ оставшегося дано, связанного с теплотой касается первого начала термодинамики:

\displaystyle Q=A+\Delta U (3)

Или в развёрнутом виде:

\displaystyle Q=P\Delta V+\frac{3}{2}\nu R\Delta T (4)

Решаем: нарисуем баллоны и запишем в них все параметры газа, которые необходимы для соотношения (2). Формой сосуда (изменение объёма) можно пренебречь, поэтому визуализируем сосуд с газом в первом и втором состоянии одинаковой банкой (рис. 1).

Рис. 1. Газ в различных состояниях

Рис. 1. Газ в различных состояниях

Банка 1 — начальное состояние системы. Газ находится при начальном давлении (\displaystyle {{P}_{1}}), начальной температуре (\displaystyle {{T}}) и начальном объёме (\displaystyle {{V}_{1}}). При этом химическое количество (\displaystyle \nu ), которое в описанных в задаче процессах не изменяется. Реализуем (1) в этом случае:

\displaystyle {{P}_{1}}{{V}_{1}}=\nu R{{T}} (5)

Банка 2 — следующее состояние системы. Объём газа при этом \displaystyle {{V}_{2}}, давление при условии изобарности, заданной в задаче — \displaystyle {{P}_{1}},  температура новая — \displaystyle {{T}_{2}} и изначальное химическое количество (\displaystyle \nu ). Реализуем (1) в этом случае:

\displaystyle {{P}_{1}}{{V}_{2}}=\nu R{{T}_{2}} (6)

Банка 3 — конечное состояние системы. Изохорический процесс говорит о том, что объём газа — \displaystyle {{V}_{2}}, новое давление — \displaystyle {{P}_{3}}, по дано температура газа вернулась в первоначальное состояние, по-этому текущая температура — \displaystyle 2{{T}} и всё то же изначальное химическое количество вещества (\displaystyle \nu ). Реализуем (1) в этом случае:

\displaystyle {{P}_{3}}{{V}_{2}}=\nu R2{{T}} (7)

Для получения ответа легче всего поделить (6) на (5), таким образом мы избавимся от большинства неизвестных:

\displaystyle \frac{{{P}_{1}}{{V}_{2}}}{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}=\frac{\nu R{{T}_{2}}}{\nu RT}\Rightarrow \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{T}_{2}}}{T}\Rightarrow n=\frac{{{T}_{2}}}{T} (8)

Тогда вопрос задачи касается поиска температуры газа во втором состоянии. В этом поиске нам поможет неиспользованное дано — алгебраическая сумма теплот (\displaystyle Q).

Для получения этого параметра используем (4):

  • при переходе из начального во второе состояние система получила теплоту (учитывая изобарический процесс):

\displaystyle {{Q}_{12}}={{P}_{1}}({{V}_{2}}-{{V}_{1}})+\frac{3}{2}\nu R({{T}_{2}}-{{T}}) (9)

  • при переходе из второго состояния в конечное система отдала теплоту (учитывая изохорический процесс):

\displaystyle {{Q}_{23}}=\frac{3}{2}\nu R(T-{{T}_{2}}) (10)

Тогда полная теплота есть сумма (9) и (10):

\displaystyle Q={{P}_{1}}({{V}_{2}}-{{V}_{1}})+\frac{3}{2}\nu R({{T}_{2}}-T)+\frac{3}{2}\nu R(T-{{T}_{2}})\displaystyle ={{P}_{1}}({{V}_{2}}-{{V}_{1}})\displaystyle ={{P}_{1}}{{V}_{2}}-{{P}_{1}}{{V}_{1}} (11)

Полученные в (11) произведения давления на объём мы уже видели в (5) и (6), подставим:

\displaystyle Q=\nu R{{T}_{2}}-\nu RT=\nu R({{T}_{2}}-T) (12)

Из (12) выделим необходимую нам температуру:

\displaystyle Q=\nu R({{T}_{2}}-T)\Rightarrow \frac{Q}{\nu R}={{T}_{2}}-T\Rightarrow {{T}_{2}}=\frac{Q}{\nu R}+T (13)

Конечное соотношение — подставим (13) в (8):

\displaystyle n=\frac{{{T}_{2}}}{T}=\frac{\frac{Q}{\nu R}+T}{T}=\frac{Q}{\nu RT}+1 (14)

Считаем: вспоминаем значение газовой постоянной \displaystyle R\approx 8,31 м\displaystyle ^{2}*кг*с\displaystyle ^{-2}\displaystyle ^{-1}*Моль\displaystyle ^{-1}.

\displaystyle n=\frac{4,6*{{10}^{3}}}{3,0*8,31*320}+1\approx 1,6 (15)

Ответ\displaystyle n\approx 1,6.

Ещё задачи на тему «Первый закон термодинамики«.

Гелий, количества вещества которого моль, находящийся при температуре обновлено: Ноябрь 6, 2017 автором: Иван Иванович