Задача. Поперёк реки натянут трос. Пловец должен переправиться

Задача. Поперёк реки натянут трос. Пловец должен переправиться через реку, плывя параллельно тросу. Модуль скорости течения воды $\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=0,80$ м/с. Под каким углом к тросу должна быть направлена скорость движения пловца относительно воды, если её модуль $\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=1,20$ м/с? Чему равен модуль скорости движения пловца относительно берега? Сколько времени займёт переправа при ширине реки $\displaystyle l=110$ м?

Дано:

$\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=0,80$ м/с
$\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=1,20$ м/с
$\displaystyle l=110$ м

Найти:
$\displaystyle \alpha$ — ?
$\displaystyle \upsilon$ — ?
$\displaystyle t$ — ?

Решение

Думаем: движение пловца с собственной скоростью по воде, которая сама движется говорит о том, что задача связана с относительным движением. Скорости тел (пловец, вода) в задаче не меняются, таким образом мы имеем дело с равномерным движением.

Решаем: исходя из закона сложения скоростей Галилея:

$\displaystyle \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{0}}+\vec{u}$ (1)

где
- $\displaystyle \vec{\upsilon }$ — скорость тела относительно неподвижной системы координат
- $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}}$ — скорость тела, относительно подвижной системы координат
- $\displaystyle \vec{u}$ — скорость подвижной системы координат относительно неподвижной.

Определим для нашей конкретной задачи каждую из этих скоростей. Тело в нашей задаче — пловец, подвижная система — река (вода), неподвижная система — земля. Анализируя данные, получим $\displaystyle \vec{\upsilon }=\vec{\upsilon }$ — скорость пловца относительно земли, $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}}={{\vec{\upsilon }}_{2}}$ — скорость пловца относительно реки (воды) и $\displaystyle \vec{u}={{\vec{\upsilon }}_{1}}$ — скорость реки (воды) относительно земли. Введя подобные переобозначения, адаптируем (1) под условия нашей задачи:

$\displaystyle \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{2}}+{{\vec{\upsilon }}_{1}}$ (2)

Пока это соотношение векторное и описывает скорости вне зависимости от обозначения. Для поиска модуля вектора его необходимо увидеть. Нарисуем переправу и построением исходя из правил сложения векторов, найдём искомый вектор (рис. 1).

Рис. 1. Скорость пловца при переправе

Если кому не нравится складывать вектора, можно построить этот рисунок логически. По задаче сказано, что пловец должен двигаться вдоль троса перпендикулярно течению реки, тогда его собственная скорость должна быть направлена под углом $\displaystyle \alpha$ против течения реки, чтобы его сносила на требуемую траекторию.

Вектор скорости пловца относительно берега (синий) найден нами из уравнения (1), модуль этого вектора можно найти теоремой Пифагора (т.к. вектора $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{1}}$ и $\displaystyle \vec{\upsilon }$ перпендикулярны друг другу по задаче). Тогда:

$\displaystyle \upsilon _{2}^{2}=\upsilon _{1}^{2}+{{\upsilon }^{2}}\Rightarrow {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{2}^{2}-\upsilon _{1}^{2}\Rightarrow \upsilon =\sqrt{\upsilon _{2}^{2}-\upsilon _{1}^{2}}$ (3)