Плот шириной м плывёт по реке со скоростью, модуль которой

Задача. Плот шириной \displaystyle l=6,0 м плывёт по реке со скоростью, модуль которой \displaystyle {{\upsilon }_{1}}=5,0 м/с. Находящийся на плоту сплавщик перешёл с одного края плота на другой и вернулся обратно. Чему равны модули перемещения сплавщика за это время относительно плота и относительно берега, если скорость движения сплавщика относительно плота \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{2}} направлена перпендикулярно скорости течения воды, а её модуль \displaystyle {{\upsilon }_{2}}=1,0 м/с? Найдите также модуль скорости движения сплавщика относительно берега.

Дано:

\displaystyle l=6,0 м
\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=5,0 м/с
\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=1,0 м/с

Найти:
\displaystyle \Delta {{r}_{p}} — ?
\displaystyle \Delta {{r}_{z}} — ?
\displaystyle \upsilon — ?

Решение

Думаем: выражение «модули перемещения сплавщика за это время относительно плота и относительно берега» говорит о том, что задача связана с относительным движением. Скорости тел (река, вода) в задаче не меняются, таким образом мы имеем дело с равномерным движением.

Решаем: исходя из закона сложения скоростей Галилея:

\displaystyle \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{0}}+\vec{u} (1)

  • где
    • \displaystyle \vec{\upsilon } — скорость тела относительно неподвижной системы координат
    • \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}} — скорость тела, относительно подвижной системы координат
    • \displaystyle \vec{u} — скорость подвижной системы координат относительно неподвижной.

Определим для нашей конкретной задачи каждую из этих скоростей. Плот движется со скоростью воды. Тело в нашей задаче — человек, подвижная система — плот (вода), неподвижная система — земля. Анализируя данные, получим \displaystyle \vec{\upsilon }=\vec{\upsilon } — скорость сплавщика относительно земли, \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}}={{\vec{\upsilon }}_{2}} — скорость человека относительно плота (воды) и \displaystyle \vec{u}={{\vec{\upsilon }}_{1}} — скорость воды (плота) относительно земли. Введя подобные переобозначения, адаптируем (1) под условия нашей задачи:

\displaystyle \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{2}}+{{\vec{\upsilon }}_{1}} (2)

Пока это соотношение векторное и описывает скорости вне зависимости от обозначения. Для поиска модуля вектора его необходимо увидеть. Нарисуем плот, вид сверху (рис. 1).

Рис. 1. Скорости сплавщика и плота

Рис. 1. Скорости сплавщика и плота

Пусть сплавщик изначально находился в точке А. Далее он начал двигаться вдоль ширины плота (красный вектор), при этом плот начал двигаться вперёд (синий вектор). Дойдя до точки В сплавщик развернулся и прибыл в точку С. Плот при этом продолжал движение. Вектор скорости человека относительно берега (зелёный) найден нами из уравнения (1), модуль этого вектора можно найти теоремой Пифагора (т.к. вектора \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{1}} и \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{2}} перпендикулярны друг другу по задаче). Тогда:

\displaystyle \upsilon =\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}} (3)

Тело движется прямолинейно и равномерно, тогда перемещение человека относительно земли можно найти:

\displaystyle \Delta {{r}_{z}}=2\upsilon t=2\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}}t (4)

где \displaystyle t — общее время движения как человека, так и плота. Удвоение происходит из-за суммарного движения в обе стороны, а вектора АВ и АС одинаковы. Время движения найдём через поступательное равномерное движение человека относительно плота (т.к. рассматриваемое в задаче движение системы начинается с началом движения человека из точки А, а заканчивается с его прибытием в точку В):

\displaystyle t=\frac{h}{{{\upsilon }_{2}}} (5)

Тогда:

\displaystyle \Delta {{r}_{z}}=2\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}}\frac{h}{{{\upsilon }_{2}}}=2\frac{\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}}}{{{\upsilon }_{2}}}h (6)

Для перемещения человека относительно плота решение достаточно простое, т.к. в системе, связанной с плотом сплавщик вернулся в исходную точку, то:

\displaystyle \Delta {{r}_{p}}=0 (7)

Считаем:

Исходя из (3):

\displaystyle \upsilon =\sqrt{{{5,0}^{2}}+{{1,0}^{2}}}\approx 5,1 м/с

Исходя из (6):

\displaystyle \Delta {{r}_{z}}=2\frac{\sqrt{{{5,0}^{2}}+{{1,0}^{2}}}}{1,0}6,0\approx 61,2 м

Ответ\displaystyle \Delta {{r}_{z}}\approx 61,2 м, \displaystyle \upsilon \approx 5,1 м/с, \displaystyle \Delta {{r}_{p}}=0 м.

Ещё задачи на тему «Относительное движение».

Добавить комментарий