Зенитный снаряд, выпущенный вертикально вверх, достиг максимальной высоты и взорвался

Задача. Зенитный снаряд, выпущенный вертикально вверх, достиг максимальной высоты и взорвался. При этом образовалась три осколка одинаковой массы. Два осколка разлетелись симметрично под углом \displaystyle \alpha =60о к направлению полёта снаряда со скоростями, модули которых \displaystyle {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{2}}=200 м/с. Определите модуль и направление скорости третьего осколка.

Дано:

\displaystyle {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{2}}=200 м/с
\displaystyle \alpha =60о

Найти:
\displaystyle {{\upsilon }_{3}} — ?

Решение

Думаем: у нас в задаче присутствуют фраза «одинаковая масса» и несколько скоростей, что говорит о возможном решении через закон сохранения импульса. Для таких задач подходит план решения.

Для реализации плана нам понадобится закон сохранения импульса в векторном виде:

\displaystyle \sum{{{{\vec{p}}}_{i}}}=\sum{\vec{p}_{i}^{/}} (1)

И определение импульса как такового:

\displaystyle \vec{p}=m\vec{\upsilon } (2)

Решаем:  исходя из плана зарисуем импульсы системы до и после взрыва (рис. 1). При этом будем описывать импульс напрямую через (2).

Рис. 1. Распределение импульсов

Рис. 1. Распределение импульсов

Проанализируем. Т.к. разрыв произошёл в наивысшей точке подъёма, то скорость составного тела перед разрывом равнялась нулю. Определим массу составного тела как \displaystyle 3m, где \displaystyle m — масса каждого из осколков. Т.к. осколки разлетелись под одинаковым углом, то проекции импульсов двух тел вдоль оси ОХ исходя из (2):

\displaystyle {{p}_{1x}}=-m{{\upsilon }_{1}}\sin \alpha (3)

\displaystyle {{p}_{2x}}=m{{\upsilon }_{2}}\sin \alpha (4)

Т.к. скорости тел равны (\displaystyle {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{2}}), то и модули импульсов вдоль оси OX равны (\displaystyle \left| {{p}_{1x}} \right|=\left| {{p}_{2x}} \right|). Таким образом, импульсы всей системы вдоль оси ОХ скомпенсированы, тогда импульс третьего тела направлен против оси OY.

Найдём проекции импульсов вдоль оси OY:

  • для тела 1: \displaystyle {{p}_{1y}}=m{{\upsilon }_{1}}\cos \alpha
  • для тела 2: \displaystyle {{p}_{2y}}=m{{\upsilon }_{2}}\cos \alpha
  • для тела 3: \displaystyle {{p}_{3y}}=-m{{\upsilon }_{3}}

Адаптируем (1) для оси OY:

\displaystyle 0=m{{\upsilon }_{1}}\cos \alpha +m{{\upsilon }_{2}}\cos \alpha -m{{\upsilon }_{3}}\Rightarrow  \displaystyle 0={{\upsilon }_{1}}\cos \alpha +{{\upsilon }_{2}}\cos \alpha -{{\upsilon }_{3}}\Rightarrow  \displaystyle {{\upsilon }_{3}}=({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})\cos \alpha (5)

Считаем:

\displaystyle {{\upsilon }_{3}}=(200+200)\cos {{60}^{{}^\circ }}=400*\frac{1}{2}=200 м/с.

Ответ\displaystyle {{\upsilon }_{3}}=200 м/с.

Ещё задачи на тему «Импульс».

Зенитный снаряд, выпущенный вертикально вверх, достиг максимальной высоты и взорвался обновлено: Ноябрь 6, 2017 автором: Иван Иванович