Лодка массой движется по озеру с постоянной скоростью

Задача. Лодка массой \displaystyle {{m}_{1}}=80 кг движется по озеру с постоянной скоростью, модуль которой \displaystyle {{\upsilon }_{1}}=2,0 м/с. С лодки прыгает мальчик массой \displaystyle {{m}_{2}}=35 кг. Определите модуль скорости и направление движения лодки после прыжка мальчика, если мальчик прыгает: а) с носа лодки в направлении её движения со скоростью, модуль которой \displaystyle {{\upsilon }_{2}}=1,5 м/с; б) так же, как и в предыдущем случае, но при \displaystyle {{\upsilon }_{3}}=8,0 м/с; в) с кормы в направлении, противоположном движению лодки, при \displaystyle {{\upsilon }_{4}}=2,0 м/с. Определите направление и модуль скорости, с которой должен прыгнуть мальчик, чтобы лодка остановилась.

Дано:

\displaystyle {{m}_{1}}=80 кг
\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=2,0 м/с
\displaystyle {{m}_{2}}=35 кг
\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=1,5 м/с
\displaystyle {{\upsilon }_{3}}=8,0 м/с
\displaystyle {{\upsilon }_{4}}=2,0 м/с

Найти:
\displaystyle {{\upsilon }_{a}} — ?
\displaystyle {{\upsilon }_{b}} — ?
\displaystyle {{\upsilon }_{c}} — ?
\displaystyle {{\upsilon }_{o}} — ?

Решение

Думаем: по задаче лодка с мальчиком движется с постоянной скоростью. В определённый момент времени (прыжок) происходит резкое изменение скоростей тел, входящих в систему. Для таких задач подходит план решения.

Для реализации плана нам понадобится закон сохранения импульса в векторном виде:

\displaystyle \sum{{{{\vec{p}}}_{i}}}=\sum{\vec{p}_{i}^{/}} (1)

И определение импульса как такового:

\displaystyle \vec{p}=m\vec{\upsilon } (2)

Решаем:  исходя из плана зарисуем импульсы системы до и после прыжка (рис. 1-3). При этом будем описывать импульс напрямую через (2).

a) масса тела до прыжка — суммарная, прыжок — в направлении движения, лодка или притормаживает, или движется в обратном направлении (мы не знаем, но ответ подскажет).

Рис. 1. Распределение импульсов а)

Рис. 1. Распределение импульсов а)

В проекции на ось ОХ получаем:

\displaystyle ({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{\upsilon }_{1}}={{m}_{1}}{{\upsilon }_{a}}+{{m}_{2}}{{\upsilon }_{2}}\Rightarrow  \displaystyle ({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}{{\upsilon }_{2}}={{m}_{1}}{{\upsilon }_{a}}\Rightarrow  \displaystyle {{\upsilon }_{a}}=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}{{\upsilon }_{2}}}{{{m}_{1}}} (3)

б) масса тела до прыжка — суммарная, прыжок — в направлении движения, лодка или притормаживает, или движется в обратном направлении (мы не знаем, но ответ подскажет). В этом случае я выбрал вектор импульса лодки после прыжка — в обратную сторону.

Рис. 2. Распределение импульсов б)

Рис. 2. Распределение импульсов б)

В проекции на ось ОХ получаем:

\displaystyle ({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{\upsilon }_{1}}=-{{m}_{1}}{{\upsilon }_{b}}+{{m}_{2}}{{\upsilon }_{3}}\Rightarrow  \displaystyle ({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}{{\upsilon }_{3}}=-{{m}_{1}}{{\upsilon }_{b}}\Rightarrow  \displaystyle {{\upsilon }_{b}}=\frac{{{m}_{2}}{{\upsilon }_{3}}-({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{1}}} (4)

в) масса тела до прыжка — суммарная, прыжок — против движения, лодка ускоряется.

Рис. 3. Распределение импульсов в)

Рис. 3. Распределение импульсов в)

В проекции на ось ОХ получаем:

\displaystyle ({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{\upsilon }_{1}}={{m}_{1}}{{\upsilon }_{c}}-{{m}_{2}}{{\upsilon }_{4}}\Rightarrow  \displaystyle ({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{\upsilon }_{1}}+{{m}_{2}}{{\upsilon }_{4}}={{m}_{1}}{{\upsilon }_{c}}\Rightarrow  \displaystyle {{\upsilon }_{c}}=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{\upsilon }_{1}}+{{m}_{2}}{{\upsilon }_{4}}}{{{m}_{1}}} (5)

г) направление прыжка — в сторону движения (тогда отдача в лодке может привести лодку к остановке). Масса тела до прыжка — суммарная, прыжок — против движения, лодка ускоряется. Также по фразе «лодка остановится» мы заключаем, что скорость лодки стала равной нулю.

Рис. 4. Распределение импульсов при остановке лодки

Рис. 4. Распределение импульсов при остановке лодки

В проекции на ось ОХ получаем:

\displaystyle ({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{\upsilon }_{1}}={{m}_{2}}{{\upsilon }_{o}}\Rightarrow {{\upsilon }_{o}}=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{2}}} (6)

Считаем:

  • для (3):

\displaystyle {{\upsilon }_{a}}=\frac{(80+35)*2,0-35*1,5}{80}\approx 2,22 м/с

  • для (4)

\displaystyle {{\upsilon }_{b}}=\frac{35*8,0-(80+35)*2,0}{80}\approx 0,63 м/с

  • для (5)

\displaystyle {{\upsilon }_{c}}=\frac{(80+35)*2,0+35*2,0}{80}=3,75 м/с

  • для (6)

\displaystyle {{\upsilon }_{o}}=\frac{(80+35)*2,0}{35}\approx 6,57 м/с

Ответ\displaystyle {{\upsilon }_{a}}\approx 2,22 м/с, \displaystyle {{\upsilon }_{b}}\approx 0,63 м/с, \displaystyle {{\upsilon }_{c}}=3,75 м/с, \displaystyle {{\upsilon }_{o}}\approx 6,57 м/с.

Ещё задачи на тему «Импульс».

Лодка массой движется по озеру с постоянной скоростью обновлено: Ноябрь 6, 2017 автором: Иван Иванович