Задача с решением. Во сколько раз модуль линейном скорости конца

Задача. Во сколько раз модуль линейной скорости конца минутной стрелки часов, установленных на башне, больше модуля линейной скорости часовой стрелки, если длина минутной стрелки $\displaystyle {{R}_{1}}=1,50$ м, а часовой — $\displaystyle {{R}_{2}}=1,10$ м? Как соотносятся их угловые скорости? Как соотносятся их центростремительные ускорения?

Дано:

$\displaystyle {{R}_{1}}=1,50$ м $\displaystyle {{R}_{2}}=1,10$ м

Найти:
$\displaystyle \frac{{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}}$ — ?

$\displaystyle \frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}$ — ?

$\displaystyle \frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}$ — ?

Решение

Думаем: в задаче движутся два тела, однако траектория движения обоих тел — окружность. Кроме основного дано, мы можем воспользоваться знанием о конкретном движущимся теле: «часовая стрелка» имеет период обращения $\displaystyle {{T}_{1}}=12$ ч, а «минутная стрелка» — $\displaystyle {{T}_{2}}=1$ ч. Таком образом, наша непосредственная задача — связать все известные параметры с неизвестными. Кроме того, чаще всего период обращения тела непосредственно связан с угловой скоростью:

$\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}$ (1)

Решаем: начнём с линейной скорости:

$\displaystyle \upsilon =\omega R$ (2)

Или, с учётом (1):

$\displaystyle \upsilon =\frac{2\pi }{T}R$ (3)

Соотношение (3) описывает движение как первой, так и второй стрелки:

$\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=\frac{2\pi }{{{T}_{1}}}{{R}_{1}}$ (4)

$\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=\frac{2\pi }{{{T}_{2}}}{{R}_{2}}$ (5)

Тогда:

$\displaystyle \frac{{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{2\pi {{R}_{2}}}{{{T}_{2}}}\frac{{{T}_{1}}}{2\pi {{R}_{1}}}=\frac{{{R}_{2}}}{{{T}_{2}}}\frac{{{T}_{1}}}{{{R}_{1}}}$ (6)

В правой части всё известно.

Второй вопрос задачи уже практически решён. Из (1):

$\displaystyle {{\omega }_{1}}=\frac{2\pi }{{{T}_{1}}}$ (7)

$\displaystyle {{\omega }_{2}}=\frac{2\pi }{{{T}_{2}}}$ (8)

Тогда:

$\displaystyle \frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}=\frac{2\pi }{{{T}_{2}}}\frac{{{T}_{1}}}{2\pi }=\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}$ (9)

В правой части всё известно.

Перейдём к третьему вопросу задачи. Центростремительное ускорение можно найти различными способами, остановимся на:

$\displaystyle a={{\omega }^{2}}R$ (10)

С учётом (1):

$\displaystyle a={{(\frac{T}{2\pi })}^{2}}R=\frac{{{T}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}R$ (11)

Адаптируем данное соотношение к движению обеих стрелок:

$\displaystyle {{a}_{1}}=\frac{{{T}_{1}}^{2}}{4{{\pi }^{2}}}{{R}_{1}}$ (12)

$\displaystyle {{a}_{2}}=\frac{{{T}_{2}}^{2}}{4{{\pi }^{2}}}{{R}_{2}}$ (13)

Тогда:

$\displaystyle \frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}=\frac{4{{\pi }^{2}}{{R}_{2}}}{{{T}_{2}}^{2}}\frac{{{T}_{1}}^{2}}{4{{\pi }^{2}}{{R}_{1}}}=\frac{{{R}_{2}}{{T}_{1}}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}{{R}_{1}}}$ (14)

Опять мы довели уравнение в правой части до дано.

Считаем:

$\displaystyle \frac{{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{1,10}{1}\frac{12}{1,50}=8,8$

$\displaystyle \frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}=\frac{12}{1}=12$

$\displaystyle \frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}=\frac{1,10*{{12}^{2}}}{{{1}^{2}}*1,50}=105,6$

Ответ: $\displaystyle \frac{{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}}=8,8$ ; $\displaystyle \frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}=12$ ; $\displaystyle \frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}=105,6$ .

Ещё задачи на тему «Кинематика вращательного движения»

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ