Задача Две гири массами подвешены на концах невесомой нити

Задача. Две гири массами $\displaystyle {{m}_{1}}=3,0$ кг и $\displaystyle {{m}_{2}}=2,0$ кг подвешены на концах невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый неподвижный блок (рис. 1). Каждая гиря прошла путь $\displaystyle S=4,0$ м. Определите модули ускорения и скорости движения гирь в конце пути.

Дано:

$\displaystyle {{m}_{1}}=3,0$ кг
$\displaystyle {{m}_{2}}=2,0$ кг
$\displaystyle S=4,0$ м

Найти:
$\displaystyle a$ — ?
$\displaystyle \upsilon$ — ?

Рис. 1. Рисунок задачи

Решение

Думаем: необходимое нам ускорение можно связать с заданными массами (а значит и с силами тяжести) через второй закон Ньютона.

$\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}=m\vec{a}$ (1)

Сумму сил, действующих на тело, проанализируем исходя из плана.

Способ нахождения скоростей тел также достаточно прост. При условии наличия ускорения, тела движется равноускоренно. Исходя из того, что нам нужно фактически найти конечную скорость тела (причём и для первого и для второго тела эти скорости одинаковы в силу нерастяжимости нити), с учётом заданного нам пути получим:

$\displaystyle {{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}=2aS$ (2)

где:

$\displaystyle \upsilon$ — конечная скорость тела,
$\displaystyle {{\upsilon }_{0}}$ — начальная скорость тела,
$\displaystyle a$ — ускорение с которым двигалось тело,
$\displaystyle S$ — путь, пройденный при этом телом.

Решаем: исходя из плана решения подобных задач нанесём на рисунок силы, действующие на тело, выставим ускорение, введём оси и спроецируем второй закон Ньютона (1) на эти оси. На каждое из тел действуют силы тяжести и силы натяжения нити. Зная какая из масс тел больше, можем указать о направлении ускорения (рис. 2).

Рис. 2. Силы, действующие на тела

Оси для каждого тела можем выбирать свои. На рис. 2 они выбраны таким образом, чтобы они совпадали с движением, тогда при адаптации (1) для каждого из тел:

для OY1:

$\displaystyle {{m}_{1}}g-T={{m}_{1}}a$ (3)

для OY2:

$\displaystyle T-{{m}_{2}}g={{m}_{2}}a$ (4)

Чтобы найти ускорение, нам нужно избавиться от силы натяжения нити в каждом из уравнений (3) и (4), для этого можно выразить искомую величину из одного уравнения и подставить во второе. Однако есть более быстры способ: предлагаю сложить уравнения (3) и (4) друг с другом:

$\displaystyle {{m}_{1}}g-T+T-{{m}_{2}}g={{m}_{1}}a+{{m}_{2}}a\Rightarrow$ $\displaystyle {{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g={{m}_{1}}a+{{m}_{2}}a\Rightarrow$ $\displaystyle ({{m}_{1}}-{{m}_{2}})g=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})a$ (5)

Из получившегося уравнения (5) найдём искомое ускорение тел:

$\displaystyle a=\frac{({{m}_{1}}-{{m}_{2}})}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}g$ (6)

Для поиска конечной скорости тел воспользуемся соотношением (2). При условии, что тела в начальный момент своего движения покоились, получим $\displaystyle {{\upsilon }_{0}}=0$ , тогда:

$\displaystyle {{\upsilon }^{2}}-{{0}^{2}}=2aS$ (7)

Подставим (6) в (7) и выразим конечную скорость:

$\displaystyle {{\upsilon }^{2}}=2\frac{({{m}_{1}}-{{m}_{2}})}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}gS\Rightarrow \upsilon =\sqrt{2\frac{({{m}_{1}}-{{m}_{2}})}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}gS}$ (8)

Считаем: зная ускорение свободного падения известно ( $\displaystyle g=10$ м/с $\displaystyle ^{2}$ ).

для (6):

$\displaystyle a=\frac{(3,0-2,0)}{(3,0+2,0)}10,0=2,0$ м/с $\displaystyle ^{2}$

для (8):

$\displaystyle \upsilon =\sqrt{2*\frac{(3,0-2,0)}{(3,0+2,0)}10,0*4,0}=4$ м/с

Ответ: $\displaystyle a=2,0$ м/с $\displaystyle ^{2}$ ; $\displaystyle \upsilon =4$ м/с.

Поделиться ссылкой: