Пример работы с уравнением Менделеева-Клапейрона

Классические задачи, связанные с уравнением Менделеева-Клапейрона, в общем случае, достаточно просты. Чаще всего в таких задачах мы имеем дело с одним газом в разных состояниях или с двумя разными газами, имеющими пропорциональные или сходные параметры. Для рассмотрения таких задач я предлагаю визуализацию, которую я называю «метод банок».

Итак, сам метод:

  • для каждого из состояний газа или для каждого газа рисуем условную «банку», внутри которой записываем параметры газа (\displaystyle P\displaystyle V\displaystyle \nu \displaystyle T).
  • для каждой из «банок» записываем уравнение Менделеева-Клапейрона.
  • решаем получившуюся систему уравнений, последовательно избавляясь от неизвестных.

«Метод банок» не кажется каким-то откровением. Единственное, почему я советую применять его на бумаге (или хотя бы мысленно), — это возможность не потерять уравнения в случае большого количества трансформаций газа или большого количества газов, или смесей газов и не запутаться в обозначениях.

Проиллюстрируем метод на примере конкретной задачи. Пусть дан газ, помещённый в теплоизолированный сосуд с жёсткими стенками, находящийся при температуре \displaystyle {{T}_{1}}. Пусть половину газа изъяли из системы при неизменной температуре и объёме. После газ нагрели так, что давление стало равным изначальному. Найти установившуюся в конце процесса температуру.

Итак, метод:

  • у нас 3 состояния газа (начальное, выход газа и нагревание) и проиллюстрируем (рис. 1)
Метод банок

Рис. 1 Метод банок

В банке 1 — изначальные параметры газа (давление \displaystyle {{P}_{1}}, объём \displaystyle {{V}_{1}}, химическое количество \displaystyle {{\nu }_{1}}), введённые нами самостоятельно. При выходе газа химическое количество газа уменьшается в два раза (\displaystyle {}^{{{\nu }_{1}}}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;), а при неизменных других параметрах, давление газа уменьшается (\displaystyle {{P}_{2}}) — банка 2. Дальнейшее нагревание (банка 3) приводит к первоначальному давлению (\displaystyle {{P}_{1}}) и новой искомой температуре (\displaystyle {{T}_{3}}). В данном случае, мы воспользовались фразами: теплоизолированный означает, что температура газа остаётся постоянной в каждом состоянии, а жёсткие стенки говорят о неизменности объёма.

Для каждого из состояний запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

\displaystyle PV=\nu RT (1)

  • где
    • \displaystyle P — текущее давление газа,
    • \displaystyle V — текущий объём газа,
    • \displaystyle \nu — текущее химическое количество газа,
    • \displaystyle T — текущая температура газа,
    • \displaystyle R\approx 8,31 м\displaystyle ^{2}*кг*с\displaystyle ^{-2}\displaystyle ^{-1}*Моль\displaystyle ^{-1} — газовая постоянная.

Тогда:

  • для банки 1:

\displaystyle {{P}_{1}}{{V}_{1}}={{\nu }_{1}}R{{T}_{1}} (2)

  • для банки 2:

\displaystyle {{P}_{2}}{{V}_{1}}=\frac{{{\nu }_{1}}}{2}R{{T}_{1}} (3)

  • для банки 3:

\displaystyle {{P}_{1}}{{V}_{1}}=\frac{{{\nu }_{1}}}{2}R{{T}_{3}} (4)

Таким образом, мы описали каждое разное состояние газа. Вернёмся к вопросу: нам необходима конечная температура \displaystyle {{T}_{3}}. Для этого поделим (4) на (2):

\displaystyle \frac{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}=\frac{{}^{{{\nu }_{1}}}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{{{\nu }_{1}}}\frac{R{{T}_{3}}}{R{{T}_{1}}}\Rightarrow 1=\frac{1}{2}\frac{{{T}_{3}}}{{{T}_{1}}}\Rightarrow {{T}_{3}}=2{{T}_{1}} (5)

Таким образом, мы нашли искомую температуру. Очевидно, что уравнение (3) нам не понадобилось, но если задаться вопросом о давлении во втором сосуде, то это уравнение будет весьма кстати.

Не лишним в таких задачах помнить о возможности поиска химического количества вещества:

\displaystyle \frac{m}{M}=\nu =\frac{N}{{{N}_{A}}} (6)

  • где
    • \displaystyle \nu — химическое количество газа,
    • \displaystyle m — масса газа,
    • \displaystyle M — молярная масса газа,
    • \displaystyle N — количество молекул газа,
    • \displaystyle {{N}_{A}}\approx 6,02*{{10}^{23}} — постоянная Авогадро.

Соотношение (6) хоть и выглядит странно, но позволяет работать как с массой всего газа (левая часть), так и с составом газа (правая часть).

Вывод: метод логичен и понятен, его ход, в любом случае, используется вами при решении. Однако, если научится автоматически применять эту логику, достаточно будет просто читать задачу, рисовать и выписывать систему уравнений. Дальше — чистая математика.

Пример работы с уравнением Менделеева-Клапейрона обновлено: Сентябрь 7, 2017 автором: Иван Иванович

Добавить комментарий