Кинематические характеристики газа

В молекулярной физике газ рассматривается как совокупность большого числа частиц, которые движутся хаотически во всём объёме. Исходя из огромного количества частиц, рассмотреть движение каждой из них достаточно сложно (в силу большого количества уравнений), но есть возможность описать усреднённые кинематические характеристики движения молекул газа.

Так, проанализируем используемые усреднённые скорости:

\displaystyle <\upsilon >=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} (1)

  • где
    • \displaystyle <\upsilon > — средняя скорость молекул газа,
    • \displaystyle R\approx 8,31 м\displaystyle ^{2}*кг*с\displaystyle ^{-2}\displaystyle ^{-1}*Моль\displaystyle ^{-1} — газовая постоянная,
    • \displaystyle T — температура газа,
    • \displaystyle \pi \approx 3,14 — константа.
    • \displaystyle M — молярная масса газа.

\displaystyle \sqrt{<{{\upsilon }^{2}}>}=u=\sqrt{\frac{3RT}{M}} (2)

  • где
    • \displaystyle u — среднеквадратичная скорость движения молекул.

Данные скорости выводятся, исходя из статистических соотношений, и сам вывод сложен, поэтому просто обсудим, что мы ввели. Итак, средняя скорость (1) — усреднённое значение скоростей всех молекул газа (т.е. мы виртуально просуммировали скорости всех молекул и разделили на их количество). Для нахождения среднеквадратической скорости (2) мы виртуально возвели в квадрат скорость каждой молекулы в газе, затем просуммировали и разделили на полное количество молекул (т.е. усреднили квадраты скоростей).

Частицы газа, находящиеся в постоянном тепловом движении, постоянно сталкиваются друг с другом. Однако для отдельно выбранной молекулы можно ввести расстояние и время движения молекулы от столкновения к столкновению — длину свободного пробега. Опять же статистически можно просчитать данный параметр:

\displaystyle <l>=\frac{<\upsilon >}{<z>} (3)

  • где
    • \displaystyle <l> — средняя длина свободного пробега,
    • \displaystyle <\upsilon > — средняя скорость молекул газа,
    • \displaystyle <z> — среднее число столкновений в единицу времени.

Или ещё один вариант:

\displaystyle <l>=\frac{1}{\sqrt{2}}n\pi {{d}^{2}} (4)

  • где
    • \displaystyle <l> — средняя длина свободного пробега,
    • \displaystyle n — число молекул в единице объёма (концентрация),
    • \displaystyle \pi \approx 3,14 — константа,
    • \displaystyle d — эффективный диаметр молекулы.

Соотношения (3) и (4) используются напрямую в задаче (большинство задач ЦТ по этой теме в одну формулу).

Рассмотрим среднюю кинетическую энергию движения молекулы газа:

\displaystyle <{{E}_{k}}>=\frac{m<{{\upsilon }^{2}}>}{2} (5)

  • где
    • \displaystyle <{{E}_{k}}> — средняя кинетическая энергия движения молекулы газа,
    • \displaystyle m — масса молекулы,
    • \displaystyle <{{\upsilon }^{2}}> — среднеквадратичная скорость молекул газа.

Воспользуемся соотношением (2):

\displaystyle <{{E}_{k}}>=\frac{m}{2}\frac{3RT}{M}=\frac{3}{2}\frac{m}{M}RT (6)

Далее учтём определение молярной массы (\displaystyle M={{N}_{A}}m) и раскроем константу (\displaystyle R={{N}_{A}}k):

\displaystyle <{{E}_{k}}>=\frac{3}{2}\frac{m}{{{N}_{A}}m}{{N}_{A}}kT=\frac{3}{2}kT (7)

  • где
    • \displaystyle <{{E}_{k}}> — средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну молекулу,
    • \displaystyle k\approx 1,38*{{10}^{-23}} Дж/К — постоянная Больцмана,
    • \displaystyle T — температура газа.

Аналогичным образом можем просчитать суммарную кинетическую энергию одного моля газа:

\displaystyle <{{E}_{k}}>=\frac{3}{2}kT{{N}_{A}}=\frac{3}{2}RT (8)

И для всего газа в целом:

\displaystyle <{{E}_{k}}>=\frac{3}{2}\nu RT=U (9)

  • где
    • \displaystyle \nu — химическое количество газа,
    • \displaystyle U — внутренняя энергия идеального одноатомного газа.

Параметр внутренней энергии газа (\displaystyle U) достаточно важный, фактически, он является суммарной кинетической энергией всех молекул газа и связывает кинематические характеристики движения отдельных молекул (скорость) с температурой всего газа.

Одним из часто рассматриваемых параметров газа является концентрация вещества, во общем случае её можно получить как:

\displaystyle n=\frac{N}{V} (10)

  • где
    • \displaystyle n — концентрация вещества,
    • \displaystyle N — число молекул газа,
    • \displaystyle V — объём газа.

Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона при условии химического количества (\displaystyle \nu =\frac{N}{{{N}_{A}}}):

\displaystyle PV=\frac{N}{{{N}_{A}}}RT (11)

Исходя из (10) получим \displaystyle N=nV и подставим в (1) с учётом \displaystyle R={{N}_{A}}k:

\displaystyle PV=\frac{nV}{{{N}_{A}}}k{{N}_{A}}T\Rightarrow P=nkT (12)

Исходя из (7):

\displaystyle <{{E}_{k}}>=\frac{3}{2}kT\Rightarrow kT=\frac{2<{{E}_{k}}>}{3} (13)

Подставим (13) в (12):

\displaystyle P=n\frac{2<{{E}_{k}}>}{3}=\frac{2}{3}n<{{E}_{k}}> (14)

Соотношение (12) и (14) — различные формы записи зависимости кинематических характеристик движения молекул (скорость энергия, количество молекул) с термодинамическими характеристиками идеального газа (объём, давление, температура).

Вывод: задачи на данную тематику достаточно линейны, т.е. узнать их можно по соответствующим понятиям: «средняя скорость», «среднеквадратичная скорость», «средняя длинна свободного пробега», «внутренняя энергия» и т.д. Все такие задачи чаще всего решаются в одну конкретную формулу (1) — (6). Остальные формулы (7) — (14) практически одинаковы по логике и используются в зависимости дано в задаче.

Добавить комментарий