Формулы. Параллельное, последовательное соединение подключение

Элементы цепи могут быть подключены двумя способами:

последовательно
параллельно

Проиллюстрируем данные подключения на примере двух конденсаторов (рис. 1).

последовательное соединение конденсаторов

Рис. 1. Последовательное соединение конденсаторов

Логическая зарядка конденсаторов происходит как показано на рис.1. Приходя из цепи, электрон останавливается на левой обкладке (пластине) конденсатора. При этом, благодаря своему электрическому полю (электризация через влияние), он выбивает другой электрон с правой обкладки, уходящий дальше в цепь (рис. 1.1). Этот образовавшийся электрон приходит на левую обкладку следующего конденсатора, соединённого последовательно. И всё повторяется снова. Таким образом, в результате «прохождения» через последовательную цепь конденсаторов «одного» электрона, мы получаем заряженную систему с одинаковыми по значению зарядами на каждом из конденсаторов (рис. 1.2).

Кроме того, напряжение на последовательно соединённой батареи конденсаторов есть сумма напряжений на каждом из элементов (аналог последовательного сопротивления проводников).

Рис. 2. Последовательное соединение конденсаторов

Часть задач школьной физики касается поиска общей электроёмкости участка цепи, логика такого поиска: найти такую электроёмкость, которым можно заменить цепь, чтобы параметры напряжения и заряда остались неизменными (рис. 2). Пусть заряд на обоих конденсаторах — $\displaystyle q$ (помним, что они одинаковы), электроёмкости — $\displaystyle {{C}_{1}}$ , $\displaystyle {{C}_{2}}$ и соответствующие напряжения — $\displaystyle {{U}_{1}}$ и $\displaystyle {{U}_{2}}$ .

Учитывая определение электроёмкости:

$\displaystyle C=\frac{q}{U}$ (1)

Тогда:

$\displaystyle {{U}_{1}}=\frac{q}{{{C}_{1}}}$ (2)

где
- $\displaystyle {{U}_{1}}$ — напряжение на первом конденсаторе,
- $\displaystyle {{C}_{1}}$ — электроёмкость первого конденсатора,
- $\displaystyle q$ — заряд конденсатора.

$\displaystyle {{U}_{2}}=\frac{q}{{{C}_{2}}}$ (3)

где
- $\displaystyle {{U}_{2}}$ — напряжение на втором конденсаторе,
- $\displaystyle {{C}_{2}}$ — электроёмкость второго конденсатора,
- $\displaystyle q$ — заряд конденсатора.

$\displaystyle {{U}_{0}}=\frac{q}{{{C}_{0}}}$ (4)

где
- $\displaystyle {{U}_{0}}$ — напряжение полной цепи,
- $\displaystyle {{C}_{0}}$ — электроёмкость общего конденсатора,
- $\displaystyle q$ — заряд общего конденсатора.

Памятуя о том, что конденсаторы соединены последовательно, получаем:

$\displaystyle {{U}_{0}}={{U}_{1}}+{{U}_{2}}$ (5)

Тогда:

$\displaystyle \frac{q}{{{C}_{0}}}=\frac{q}{{{C}_{1}}}+\frac{q}{{{C}_{2}}}$ $\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{{{C}_{0}}}=\frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{2}}}$ (6)

Или в общем виде:

$\displaystyle \frac{1}{{{C}_{0}}}=\sum\limits_{i}{\frac{1}{{{C}_{i}}}}$ (7)

где
- $\displaystyle {{C}_{0}}$ — электроёмкость последовательно соединённых конденсаторов,
- $\displaystyle \sum\limits_{i}{\frac{1}{{{C}_{i}}}}$ — сумма обратных емкостей.

Для цепи из двух последовательных соединений:

$\displaystyle {{C}_{0}}=\frac{{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{{{C}_{1}}+{{C}_{2}}}$ (8)

параллельное соединение конденсаторов

Рис. 3. Параллельное соединение конденсаторов

Параллельное подключение конденсаторов представлено на рисунке 3. При внесении электрона в систему, у него есть выбор: пойти на верхний или нижний конденсатор. При большом количестве электронов заполнение обкладок конденсатора происходит прямо пропорционально электроёмкости конденсаторов.

Параллельное соединение конденсаторов - 2

Рис. 4. Параллельное соединение конденсаторов. Поиск полной электроёмкости

Опять попробуем решить задачу по поиску полной ёмкости конденсаторов (рис. 4). Помним, что при параллельном подключении напряжения на элементах одинаковы, тогда:

$\displaystyle {{q}_{1}}={{C}_{1}}U$ (9)

где
- $\displaystyle {{q}_{1}}$ — заряд на первом конденсаторе,
- $\displaystyle {{C}_{1}}$ — электроёмкость первого конденсатора,
- $\displaystyle U$ — напряжение на первом конденсаторе.

$\displaystyle {{q}_{2}}={{C}_{2}}U$ (10)

где
- $\displaystyle {{q}_{2}}$ — заряд на втором конденсаторе,
- $\displaystyle {{C}_{2}}$ — электроёмкость второго конденсатора,
- $\displaystyle U$ — напряжение на втором конденсаторе.

$\displaystyle {{q}_{0}}={{C}_{0}}U$ (11)

где
- $\displaystyle {{q}_{0}}$ — заряд на общем конденсаторе,
- $\displaystyle {{C}_{0}}$ — электроёмкость полного конденсатора,
- $\displaystyle U$ — напряжение на общем конденсаторе.

С учётом того, что $\displaystyle {{q}_{0}}={{q}_{1}}+{{q}_{2}}$ , получим:

$\displaystyle {{C}_{0}}U={{C}_{1}}U+{{C}_{2}}U$ (12)

Сокращаем:

$\displaystyle {{C}_{0}}={{C}_{1}}+{{C}_{2}}$ (13)

Или в общем виде:

$\displaystyle {{C}_{0}}=\sum\limits_{i}{{{C}_{i}}}$ (14)

где
- $\displaystyle {{C}_{0}}$ — электроёмкость параллельно соединённых конденсаторов,
- $\displaystyle \sum\limits_{i}{{{C}_{i}}}$ — сумма электроёмкостей последовательно соединённой цепи.

Вывод: в задачах, в которых присутствует цепь, необходимо рассмотреть, какое конкретно соединение рассматривается, а потом использовать соответствующую логику рассуждений:

для последовательного соединения
- заряды всех конденсаторов одинаковы: $\displaystyle q=const$ .
- напряжение во всей цепи есть сумма напряжений на каждом из элементов: $\displaystyle U=\sum\limits_{i}{{{U}_{i}}}$ ,
- полная электроёмкость цепи конденсаторов, соединённых последовательно равна: $\displaystyle \frac{1}{{{C}_{0}}}=\sum\limits_{i}{\frac{1}{{{C}_{i}}}}$ .
для параллельного соединения
- заряд системы конденсаторов есть сумма зарядов на каждом из них: $\displaystyle {{q}_{o}}=\sum\limits_{i}{{{q}_{i}}}$ ,
- напряжение на каждом из элементов одинаково: $\displaystyle U=const$ ,
- полная электроёмкость цепи конденсаторов, соединённых параллельно равна: $\displaystyle {{C}_{o}}=\sum\limits_{i}{{{C}_{i}}}$ .

Параллельное и последовательное соединение конденсаторов

Добавить комментарий Отменить ответ

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ