Гармонические колебания

Колебательное движение – движение (изменение состояния), обладающее той или иной степенью повторяемости во времени.

Т.е. колебанием можно назвать любой вид движения, при котором через одинаковые промежутки времени повторяются кинематические характеристики движения (координата, скорость, ускорение).

Гармоническими колебаниями называются колебания, кинематические характеристики в которых меняются по закону синуса или косинуса.

Колебательное движение

Рис. 1. Колебательное движение. Вывод через окружность. Начальные условия

Для визуализации, представим вращательное движение в виде колебательного движения вдоль двух взаимно перпендикулярных осей.

Пусть тело, вращающееся по окружности радиуса A, в начале движения находилось в точке C. Пусть в начале движения радиус-вектор, описывающий выбранную точку, наклонён под углом \displaystyle {{\varphi }_{0}} к оси OX. Определим начальные координаты тела (исходя из проекций радиуса на оси):

\displaystyle {{x}_{0}}=A\cos {{\varphi }_{0}} (1)

\displaystyle {{y}_{0}}=A\sin {{\varphi }_{0}} (2)

Колебательное движение - 2

Рис. 2. Колебательное движение. Вывод через окружность

Пусть через время \displaystyle t тело, вращаясь с угловой скоростью \displaystyle \omega ,  переместилось в точку D. При этом угол поворота радиус-вектора, относительно начального положения составил \displaystyle \varphi (рис. 2).

Определим текущие координаты тела тем же методом:

\displaystyle x=A\cos (\varphi +{{\varphi }_{0}}) (3)

\displaystyle y=A\sin (\varphi +{{\varphi }_{0}}) (4)

Учитывая, что при равномерном движении по окружности \displaystyle \varphi =\omega t, получим:

\displaystyle x=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}}) (5)

\displaystyle y=A\sin (\omega t+{{\varphi }_{0}}) (6)

Уравнения (5) и (6) являются законом движения материальной точки при гармонических колебаниях. Причём, одним и тем же законом, так как с тригонометрической точки зрения  \displaystyle \sin ({{90}^{{}^\circ }}-\alpha )=\cos \alpha , тогда из (5):

\displaystyle x=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}})=A\sin (\omega t-{{90}^{{}^\circ }}+{{\varphi }_{0}}) = \displaystyle A\sin (\omega t+{{\varphi }^{/}}_{0}) (7)

  • где \displaystyle {{\varphi }^{/}}_{0}={{\varphi }_{0}}-{{90}^{{}^\circ }} — новый параметр, характеризующий некое другое начальное положение тела.

Таким образом, уравнения (5) и (6), по сути, являются одинаковыми уравнениями только при разных начальных условиях.

Разберём уравнение (5). Каждый из введённых параметров, имея аналог во вращательном движении, описывается по-другому в колебательном движении:

\displaystyle x=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}})

  • где
    • \displaystyle x — текущая координата тела,
    • \displaystyle A — амплитуда колебаний (максимальное отклонение тела от положения равновесия)
    • \displaystyle \omega — циклическая частота колебания
    • \displaystyle t — время движения
    • \displaystyle {{\varphi }_{0}} — начальная фаза колебания
    • \displaystyle (\omega t+{{\varphi }_{0}}) — текущая фаза колебания (всё, что стоит под тригонометрической функцией).

Зная общий вид колебательного движения, можем найти зависимости скорости и ускорения от времени. Для уравнения (5):

\displaystyle x=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}})

\displaystyle {{\upsilon }_{x}}=A\omega \sin (\omega t+{{\varphi }_{0}}) (7)

\displaystyle {{a}_{x}}=-A{{\omega }^{2}}\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}}) (8)

  • где
    • \displaystyle {{\upsilon }_{x}} — скорость тела,
    • \displaystyle {{a}_{x}} — ускорение тела

Аналогичным образом можно провести рассмотрение уравнения (6).

Проанализируем (5) и (8), исходя из внешнего вида правой части обоих уравнений, можем вывести:

\displaystyle {{a}_{x}}=-{{\omega }^{2}}x (9)

Уравнение (9) называется основным уравнением гармонических колебаний.

Среди параметров колебаний также присутствуют параметры, знакомые нам по вращательному движению:

\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T} (10)

\displaystyle T=\frac{1}{\nu } (11)

  • где
    • \displaystyle \omega — циклическая частота колебаний
    • \displaystyle T — период колебаний
    • \displaystyle \nu — частота колебания.

Вывод: для школьных задач почти все колебания являются гармоническими и описываются соотношениями (5), (6). Соответствующие скорость и ускорение частицы рассчитываются исходя из конкретного колебания. Параметры колебания также рассчитываются формульно.

Гармонические колебания обновлено: Сентябрь 9, 2017 автором: Иван Иванович

Добавить комментарий